Finite Mathematik Beispiele

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 15 - 21 & 7 \\ 22 - 28 & 3 \\ 29 - 35 & 2 \\ 36 - 42 & 5 \\ 43 - 49 & 1 \end{array}$

Schritt 1

Ermittle für jede Gruppe die Klassenmitte $M$ .

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Schritt 1.1

Die untere Grenze für jede Klasse ist der kleinste Wert in dieser Klasse. Die obere Grenze für jede Klasse wiederum ist der größte Wert in dieser Klasse.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 15 - 21 & 7 & 15 & 21 \\ 22 - 28 & 3 & 22 & 28 \\ 29 - 35 & 2 & 29 & 35 \\ 36 - 42 & 5 & 36 & 42 \\ 43 - 49 & 1 & 43 & 49 \end{array}$

Schritt 1.2

Die Klassenmitte ist die untere Klassengrenze plus die obere Klassengrenze dividiert durch $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 15 & 21 & \frac{15 + 21}{2} \\ 22 - 28 & 3 & 22 & 28 & \frac{22 + 28}{2} \\ 29 - 35 & 2 & 29 & 35 & \frac{29 + 35}{2} \\ 36 - 42 & 5 & 36 & 42 & \frac{36 + 42}{2} \\ 43 - 49 & 1 & 43 & 49 & \frac{43 + 49}{2} \end{array}$

Schritt 1.3

Vereinfache die gesamte Spalte mit den Klassenmitten.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 15 & 21 & 18 \\ 22 - 28 & 3 & 22 & 28 & 25 \\ 29 - 35 & 2 & 29 & 35 & 32 \\ 36 - 42 & 5 & 36 & 42 & 39 \\ 43 - 49 & 1 & 43 & 49 & 46 \end{array}$

Schritt 1.4

Füge die Spalte mit den Klassenmitten zur ursprünglichen Tabelle hinzu.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 18 \\ 22 - 28 & 3 & 25 \\ 29 - 35 & 2 & 32 \\ 36 - 42 & 5 & 39 \\ 43 - 49 & 1 & 46 \end{array}$

Schritt 2

Berechne das Quadrat von jeder Klassenmitte $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 18^{2} \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 25^{2} \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 32^{2} \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 39^{2} \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 46^{2} \end{array}$

Schritt 3

Vereinfache die $M^{2}$ -Spalte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 324 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 625 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 1024 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 1521 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 2116 \end{array}$

Schritt 4

Multipliziere jeden Klassenmittelpunkt zum Quadrat mit seiner Häufigkeit $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 324 & 7 \cdot 324 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 625 & 3 \cdot 625 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 1024 & 2 \cdot 1024 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 1521 & 5 \cdot 1521 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 2116 & 1 \cdot 2116 \end{array}$

Schritt 5

Vereinfache die $f \cdot M^{2}$ -Spalte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 324 & 2268 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 625 & 1875 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 1024 & 2048 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 1521 & 7605 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 2116 & 2116 \end{array}$

Schritt 6

Bestimme die Summe aller Häufigkeiten. In diesem Fall ist die Summe aller Häufigkeiten $n = 7, 3, 2, 5, 1 = 18$ .

$\sum_{}^{} f = n = 18$

Schritt 7

Berechne die Summe der Spalte $f \cdot M^{2}$ . In diesem Fall: $2268 + 1875 + 2048 + 7605 + 2116 = 15912$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 15912$

Schritt 8

Bestimme den Mittelwert $μ$ .

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Schritt 8.1

Bestimme die Klassenmitte $M$ für jede Klasse.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 18 \\ 22 - 28 & 3 & 25 \\ 29 - 35 & 2 & 32 \\ 36 - 42 & 5 & 39 \\ 43 - 49 & 1 & 46 \end{array}$

Schritt 8.2

Multipliziere die Häufigkeit jeder Klasse mit der Klassenmitte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 7 \cdot 18 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 3 \cdot 25 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 2 \cdot 32 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 5 \cdot 39 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 1 \cdot 46 \end{array}$

Schritt 8.3

Vereinfache die $f \cdot M$ -Spalte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 126 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 75 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 64 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 195 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 46 \end{array}$

Schritt 8.4

Addiere die Werte in der $f \cdot M$ -Spalte.

$126 + 75 + 64 + 195 + 46 = 506$

Schritt 8.5

Addiere die Werte in der Spalte mit den Häufgkeiten.

$n = 7 + 3 + 2 + 5 + 1 = 18$

Schritt 8.6

Der Mittelwert (mu) ist die Summe von $f \cdot M$ dividiert durch $n$ , was die Summe der Häufigkeiten ist.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Schritt 8.7

Der Mittelwert ist die Summe der Produkte der Klassenmitten und der Häufigkeiten dividiert durch die Summe der Häufigkeiten.

$μ = \frac{506}{18}$

Schritt 8.8

Vereinfache die rechte Seite von $μ = \frac{506}{18}$ .

$28.\overline{1}$

Schritt 9

Die Gleichung für die Standardabweichung ist $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Schritt 10

Setze die berechneten Werte in $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ ein.

$S^{2} = \frac{15912 - 18 {(28.\overline{1})}^{2}}{18 - 1}$

Schritt 11

Vereinfache die rechte Seite von $S^{2} = \frac{15912 - 18 {(28.\overline{1})}^{2}}{18 - 1}$ , um die Varianz $S^{2} = 99.28104575$ zu erhalten.

$99.28104575$

Schritt 12

DIe Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz $99.28104575$ . In diesem Fall ist die Standardabweichung gleich $9.96398744$ .

$9.96398744$