Finite Mathematik Beispiele

$y = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + 3 x = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ heraus.

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3$ heraus.

$x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 3 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 3 x + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, 0]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y = 0}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[0, \infty), {x | x \geq 0}$

Wertebereich: $[0, 0], {y | y = 0}$

Schritt 6