Finite Mathematik Beispiele

Bestimme den Definitions- und Wertebereich x^2+y^2+8x+2y+8=0
Schritt 1
Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.
Schritt 2
Setze die Werte , und in die Quadratformel ein und löse nach auf.
Schritt 3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.1.4
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.5
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.6
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.6.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.6.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.6.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.6.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.6.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.6.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.6.2.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.6.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.6.2.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 3.1.6.2.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.1.6.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.6.2.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 3.1.6.2.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 3.1.6.2.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 3.1.7
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.7.1
Schreibe als um.
Schritt 3.1.7.2
Füge Klammern hinzu.
Schritt 3.1.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Vereinfache .
Schritt 4
Vereinfache den Ausdruck, um nach dem -Teil von aufzulösen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.4
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.5
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.6
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.6.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.6.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.6.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.6.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.6.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.6.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.6.2.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.6.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.6.2.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 4.1.6.2.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.6.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.6.2.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 4.1.6.2.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 4.1.6.2.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 4.1.7
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.7.1
Schreibe als um.
Schritt 4.1.7.2
Füge Klammern hinzu.
Schritt 4.1.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3
Vereinfache .
Schritt 4.4
Ändere das zu .
Schritt 5
Vereinfache den Ausdruck, um nach dem -Teil von aufzulösen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.1.4
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.5
Subtrahiere von .
Schritt 5.1.6
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.6.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.6.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.6.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.6.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.6.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.6.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.6.2.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.6.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.6.2.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 5.1.6.2.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.1.6.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.6.2.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 5.1.6.2.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 5.1.6.2.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 5.1.7
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.7.1
Schreibe als um.
Schritt 5.1.7.2
Füge Klammern hinzu.
Schritt 5.1.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3
Vereinfache .
Schritt 5.4
Ändere das zu .
Schritt 6
Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.
Schritt 7
Setze den Radikanden in größer als oder gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 8
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 8.2
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Setze gleich .
Schritt 8.2.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 8.2.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 8.2.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 8.2.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 8.2.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 8.3
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.3.1
Setze gleich .
Schritt 8.3.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 8.4
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 8.5
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 8.6
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.6.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.6.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 8.6.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 8.6.1.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 8.6.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.6.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 8.6.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 8.6.2.3
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 8.6.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.6.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 8.6.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 8.6.3.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 8.6.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Falsch
Wahr
Falsch
Falsch
Wahr
Falsch
Schritt 8.7
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
Schritt 9
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 10
Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 11
Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.
Definitionsbereich:
Wertebereich:
Schritt 12