Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ um.

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 4$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x \leq 4$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite $27$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $- 9$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $27$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 3$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Schritt 8

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Keine Lösung

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Keine Lösung

Schritt 10