Finite Mathematik Beispiele

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ um.

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 3

$b = 3$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Setze den Radikanden in

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ größer als oder gleich

0

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

Schritt 4

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere

4

$4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Term in

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ durch

- 1

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere

- 4

$- 4$ durch

- 1

$- 1$ .

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

Schritt 5

Setze den Radikanden in

\sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ größer als oder gleich

0

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Schritt 6.3

Setze

x - 3

$x - 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze

x - 3

$x - 3$ gleich

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ wahr machen.

x = - 3, 3

$x = - 3, 3$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall

x < - 3

$x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x < - 3

$x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = - 6

$x = - 6$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze

x

$x$ durch

- 6

$- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite

27

$27$ ist größer als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 0

$x = 0$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze

x

$x$ durch

0

$0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite

- 9

$- 9$ ist kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall

x > 3

$x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x > 3

$x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 6

$x = 6$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze

x

$x$ durch

6

$6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite

27

$27$ ist größer als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

x < - 3

$x < - 3$ Wahr

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Falsch

x > 3

$x > 3$ Wahr

x < - 3

$x < - 3$ Wahr

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Falsch

x > 3

$x > 3$ Wahr

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ oder

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ oder

x \geq 3

$x \geq 3$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

x

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

(- \infty, - 3] \cup [3, 4]

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

{x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Schritt 8

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen

y

$y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Keine Lösung

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Keine Lösung

Schritt 10