Finite Mathematik Beispiele

$h (x) = \frac{- 5 x^{2}}{(x - 7) (x + 5)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{- 5 x^{2}}{(x - 7) (x + 5)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 7) (x + 5) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.2

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.3

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 5$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 7) \cup (7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 5, 7}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{175}{36}] \cup [0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - \frac{175}{36}, y \geq 0}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 5) \cup (- 5, 7) \cup (7, \infty), {x | x \neq - 5, 7}$

Wertebereich: $(- \infty, - \frac{175}{36}] \cup [0, \infty), {y | y \leq - \frac{175}{36}, y \geq 0}$

Schritt 6