Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$8 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2} - 2 x + 8$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$2 (4 x^{2}) - 2 x + 8 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 8 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (4) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$2 (4 x^{2} - x) + 2 (4) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2} - x) + 2 (4)$ heraus.

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $4 x^{2} - x + 4$ durch $1$ .

$4 x^{2} - x + 4 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$4 x^{2} - x + 4 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 1$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 63$ als $- 1 (63)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (63)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.7

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.5.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $- 63$ als $- 1 (63)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (63)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.7

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.6.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $- 63$ als $- 1 (63)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (63)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.7

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.7.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}], {y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Schritt 6