Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{48}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{48}$ in den Zähler.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Schritt 3.2.1.3.2

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Schritt 3.2.1.3.3

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Schritt 3.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Schritt 3.2.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Schritt 3.2.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Schritt 3.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

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Schritt 5.1

Um $64$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $64$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4$ aus $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $64 \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Schritt 5.4

Schreibe $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 8.1.2.1.2

Dividiere $48 - x^{2}$ durch $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 48$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 48$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 48$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Dividiere $- 48$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Schritt 8.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Schritt 8.5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Schritt 8.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.5.2.1

Vereinfache $\sqrt{48}$ .

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Schritt 8.5.2.1.1

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.5.2.1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Schritt 8.5.2.1.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Schritt 8.5.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Schritt 8.5.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Schritt 8.6

Schreibe $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 8.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 8.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Schritt 8.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 8.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Schritt 8.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 8.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 4 \sqrt{3}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Schritt 8.8

Löse $- x \leq 4 \sqrt{3}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 8.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 4 \sqrt{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 4 \sqrt{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 8.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 8.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 8.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.8.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Schritt 8.8.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ als $- (4 \sqrt{3})$ um.

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Schritt 8.8.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Schritt 8.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 4 \sqrt{3}$ und $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Schritt 8.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 8, 8]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Wertebereich: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Schritt 12