Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{225}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $625$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $625$ mit $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{225}$ in den Zähler.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

Schritt 3.2.1.3.2

Faktorisiere $25$ aus $625$ heraus.

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

Schritt 3.2.1.3.3

Faktorisiere $25$ aus $225$ heraus.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Schritt 3.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Schritt 3.2.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

Schritt 3.2.1.4

Kombiniere $25$ und $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

Schritt 3.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

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Schritt 5.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{25 x^{2}}{9}$ als ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 25$ und $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.3

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $25$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $5$ aus $25 \cdot 3 + 5 x$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $25 \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.6

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $25$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Schritt 5.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $5$ aus $25 \cdot 3 - 5 x$ heraus.

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Schritt 5.8.1.1

Faktorisiere $5$ aus $25 \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

Schritt 5.8.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

Schritt 5.8.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

Schritt 5.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $\frac{5 (15 + x)}{3}$ mit $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.9.2

Multipliziere.

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Schritt 5.9.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

Schritt 5.10

Schreibe $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ als ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ um.

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Schritt 5.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25 (15 + x) (15 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

Schritt 5.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.10.3

Ordne den Bruch $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

Schritt 5.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

Schritt 5.12

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

Schritt 8.2

Setze $15 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $15 + x$ gleich $0$ .

$15 + x = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 15$

Schritt 8.3

Setze $15 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $15 - x$ gleich $0$ .

$15 - x = 0$

Schritt 8.3.2

Löse $15 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.2.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 15$

Schritt 8.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 15$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 15$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.2.3.1

Dividiere $- 15$ durch $- 1$ .

$x = 15$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 15, 15$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 18$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $- 99$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 15 < x < 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 15 < x < 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $225$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 18$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $- 99$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 15$ Falsch

$- 15 < x < 15$ Wahr

$x > 15$ Falsch

$x < - 15$ Falsch

$- 15 < x < 15$ Wahr

$x > 15$ Falsch

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 15 \leq x \leq 15$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 15, 15]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 25, 25]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

Wertebereich: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

Schritt 12