Finite Mathematik Beispiele

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1$

Schritt 1

Addiere $\frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Schritt 2

Vereinfache $1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + {(x - 3)}^{2}}{64}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + (x - 3) (x - 3)}{64}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{64}$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{64}$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Schritt 2.2.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{64}$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 6 x + 9}{64}$

Schritt 2.2.4

Addiere $64$ und $9$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $36$ .

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 8)}^{2} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

${(y - 8)}^{2} = 4 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Schritt 4.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

${(y - 8)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$ .

${(y - 8)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$ als ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)$ um.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9 (x^{2} - 6 x + 73)$ heraus.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.3

Ordne den Bruch $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$y - 8 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y - 8 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ .

$y - 8 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 8 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Schritt 7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 8 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Schritt 7.4

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 6 x + 73 \geq 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 6 x + 73 = 0$

Schritt 9.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 73$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 73)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Schritt 9.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.3

Subtrahiere $292$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.4

Schreibe $- 256$ als $- 1 (256)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (256)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.7

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.9

Bringe $16$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Schritt 9.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.3

Subtrahiere $292$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.4

Schreibe $- 256$ als $- 1 (256)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (256)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.7

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.9

Bringe $16$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Schritt 9.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Schritt 9.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 3 + 8 i$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Schritt 9.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.3

Subtrahiere $292$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.4

Schreibe $- 256$ als $- 1 (256)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (256)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.7

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.9

Bringe $16$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Schritt 9.6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Schritt 9.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 3 - 8 i$

Schritt 9.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 9.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 9.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 9.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} - 6 x + 73$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 11

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2] \cup [14, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq 2, y \geq 14}$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(- \infty, 2] \cup [14, \infty), {y | y \leq 2, y \geq 14}$

Schritt 13