Finite Mathematik Beispiele

$r (x) = 400 x$ , $c (x) = x^{2} - 100 x + 3000$

Schritt 1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $\frac{r (x)}{c (x)}$ .

$\frac{400 x}{x^{2} - 100 x + 3000}$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{400 x}{x^{2} - 100 x + 3000}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 100 x + 3000 = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 100$ und $c = 3000$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3000)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.3

Subtrahiere $12000$ von $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 2000$ als $- 1 (2000)$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2000)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.7

Schreibe $2000$ als $20^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $2000$ heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $12000$ von $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $- 2000$ als $- 1 (2000)$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2000)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7

Schreibe $2000$ als $20^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $2000$ heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Schritt 3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 50 + 10 i \sqrt{5}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $12000$ von $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $- 2000$ als $- 1 (2000)$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2000)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7

Schreibe $2000$ als $20^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $2000$ heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 50 - 10 i \sqrt{5}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 50 + 10 i \sqrt{5}, 50 - 10 i \sqrt{5}$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 5