Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Quotienten der Funktionen.

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Schritt 1.1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

Schritt 1.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Schritt 1.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Schritt 1.2.3.3

Potenziere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ als $(2 + x) (2 - x)$ um.

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Schritt 1.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ als ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Schritt 1.2.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 1.2.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3

Setze $2 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.4

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 3.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 3.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 3.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Schritt 3.7.1.3

Die linke Seite $48$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 3.7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

Schritt 3.7.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.7.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 3.7.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

Schritt 3.7.3.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.7.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.7.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Schritt 3.7.4.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 3.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 2$ oder $0 \leq x \leq 2$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 5.2

Setze $2 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.3

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 5.3.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 5.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 + x) (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

Schritt 7