Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x - 7}$ , $g (x) = - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Bestimme die Summe der Funktionen.

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Schritt 1.1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $f (x) + g (x)$ .

$\frac{x}{x - 7} - \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{x}{x - 7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x - 7} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{x}{x - 7} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 7}{x - 7}$

Schritt 1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 7) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 7}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x - 7) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 7}{x - 7}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x - 7) x} - \frac{x - 7}{x (x - 7)}$

Schritt 1.2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 7) x$ um.

$\frac{x \cdot x}{x (x - 7)} - \frac{x - 7}{x (x - 7)}$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x - (x - 7)}{x (x - 7)}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7)}{x (x - 7)}$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - x - - 7}{x (x - 7)}$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{x^{2} - x + 7}{x (x - 7)}$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - x + 7}{x (x - 7)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x - 7) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 7$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, 7}$

Schritt 5