Finite Mathematik Beispiele

$(9, 8)$ , $(9, 3)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Schritt 2.2.2

Addiere $81$ und $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Schritt 3.2.3

Addiere $81$ und $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Schritt 4.2.3

Addiere $81$ und $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $90$ als $3^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $90$ heraus.

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $105$ und $3$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $105$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $145$ mit $10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $1450$ als $5^{2} \cdot 58$ um.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $1450$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $35$ und $5$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $5$ aus $35$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{58}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{58}}$ mit $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Schritt 6.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{58}}$ mit $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Schritt 6.6.2

Potenziere $\sqrt{58}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Schritt 6.6.3

Potenziere $\sqrt{58}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Schritt 6.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Schritt 6.6.6

Schreibe ${\sqrt{58}}^{2}$ als $58$ um.

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Schritt 6.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{58}$ als $58^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Schritt 6.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Schritt 6.7

Berechne $\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$