Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{- 1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 2

Multipliziere $[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Schritt 2.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} \cdot 1 + \frac{2}{7} \cdot 3 & \frac{1}{7} \cdot 2 + \frac{2}{7} \cdot 1 \\ \frac{3}{7} \cdot 1 - \frac{1}{7} \cdot 3 & \frac{3}{7} \cdot 2 - \frac{1}{7} \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{7} \\ 0 & \frac{5}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 3

Multipliziere $[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{7} \\ 0 & \frac{5}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Schritt 3.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 x + \frac{4}{7} y \\ 0 x + \frac{5}{7} y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 3.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} x + \frac{4 y}{7} \\ \frac{5 y}{7} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 4

Multipliziere $[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$ .

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Schritt 4.1

Schritt 4.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} x + \frac{4 y}{7} \\ \frac{5 y}{7} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} \cdot - 1 + \frac{2}{7} \cdot 4 \\ \frac{3}{7} \cdot - 1 - \frac{1}{7} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 4.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} x + \frac{4 y}{7} \\ \frac{5 y}{7} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 5

Write as a linear system of equations.

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$\frac{5 y}{7} = - 1$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 6.1

Löse in $\frac{5 y}{7} = - 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{7}{5}$ .

$\frac{7}{5} \cdot \frac{5 y}{7} = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1.1

Vereinfache $\frac{7}{5} \cdot \frac{5 y}{7}$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{5} \cdot \frac{5 y}{7} = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{1}{5} \cdot (5 (y)) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Vereinfache $\frac{7}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Multipliziere $\frac{7}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{7}{5}$ und $- 1$ .

$y = \frac{7 \cdot - 1}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{- 7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{7}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $y$ in $x + \frac{4 y}{7} = 1$ durch $- \frac{7}{5}$ .

$x + \frac{4 (- \frac{7}{5})}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x + \frac{- 4 (\frac{7}{5})}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{7}{5}$ .

$x + \frac{\frac{- 4 \cdot 7}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{\frac{- 4 \cdot 7}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x + \frac{\frac{- 28}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x + \frac{- \frac{28}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x - \frac{28}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.2.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{28}{5}$ in den Zähler.

$x + \frac{- 28}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.5.2

Faktorisiere $7$ aus $- 28$ heraus.

$x + \frac{7 (- 4)}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{7 \cdot - 4}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{- 4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{- 4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.2.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Addiere $\frac{4}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + \frac{4}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 + 4}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.3.4

Addiere $5$ und $4$ .

$x = \frac{9}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

$x = \frac{9}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.4

Löse das Gleichungssystem.

$x = \frac{9}{5} y = - \frac{7}{5}$

Schritt 6.5

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{9}{5}, y = - \frac{7}{5}$