Finite Mathematik Beispiele

A ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 8 & - 5 & - 4 1 & - 4 & 4 - 6 & - 2 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ B = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 7 & 2 & 5 9 & - 9 & 4 5 & - 1 & 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A [\begin{array}{c} 8 & - 5 & - 4 \\ 1 & - 4 & 4 \\ - 6 & - 2 & 9 \end{array}] B = [\begin{array}{c} - 7 & 2 & 5 \\ 9 & - 9 & 4 \\ 5 & - 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

$A$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} A \cdot 8 & A \cdot - 5 & A \cdot - 4 \\ A \cdot 1 & A \cdot - 4 & A \cdot 4 \\ A \cdot - 6 & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe

$8$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & A \cdot - 5 & A \cdot - 4 \\ A \cdot 1 & A \cdot - 4 & A \cdot 4 \\ A \cdot - 6 & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.2

Bringe

$- 5$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & A \cdot - 4 \\ A \cdot 1 & A \cdot - 4 & A \cdot 4 \\ A \cdot - 6 & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.3

Bringe

$- 4$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A \cdot 1 & A \cdot - 4 & A \cdot 4 \\ A \cdot - 6 & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere

$A$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & A \cdot - 4 & A \cdot 4 \\ A \cdot - 6 & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.5

Bringe

$- 4$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & A \cdot 4 \\ A \cdot - 6 & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.6

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ A \cdot - 6 & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.7

Bringe

$- 6$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ - 6 A & A \cdot - 2 & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.8

Bringe

$- 2$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ - 6 A & - 2 A & A \cdot 9 \end{array}]$

Schritt 2.9

Bringe

$9$ auf die linke Seite von

$A$ .

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ - 6 A & - 2 A & 9 A \end{array}]$

Schritt 3

Find the inverse of

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ - 6 A & - 2 A & 9 A \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Forme um.

$| \begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ - 6 A & - 2 A & 9 A \end{array} |$

Schritt 3.2

Find the determinant.

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Schritt 3.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 3.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 A & 4 A \\ - 2 A & 9 A \end{array} |$

Schritt 3.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$8 A | \begin{array}{c} - 4 A & 4 A \\ - 2 A & 9 A \end{array} |$

Schritt 3.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} |$

Schritt 3.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} |$

Schritt 3.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.1.9

Add the terms together.

$8 A | \begin{array}{c} - 4 A & 4 A \\ - 2 A & 9 A \end{array} | + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Berechne

$| \begin{array}{c} - 4 A & 4 A \\ - 2 A & 9 A \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$8 A (- 4 A (9 A) - (- 2 A (4 A))) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 A (- 4 \cdot 9 A \cdot A - (- 2 A (4 A))) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Multipliziere

$A$ mit

$A$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1.2.1

Bewege

$A$ .

$8 A (- 4 \cdot 9 (A \cdot A) - (- 2 A (4 A))) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$A$ mit

$A$ .

$8 A (- 4 \cdot 9 A^{2} - (- 2 A (4 A))) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$9$ .

$8 A (- 36 A^{2} - (- 2 A (4 A))) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.1.4

Multipliziere

$A$ mit

$A$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1.4.1

Bewege

$A$ .

$8 A (- 36 A^{2} - (- 2 (A \cdot A) \cdot 4)) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.1.4.2

Mutltipliziere

$A$ mit

$A$ .

$8 A (- 36 A^{2} - (- 2 A^{2} \cdot 4)) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.1.5

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 2$ .

$8 A (- 36 A^{2} - (- 8 A^{2})) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.1.6

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$- 1$ .

$8 A (- 36 A^{2} + 8 A^{2}) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere

$- 36 A^{2}$ und

$8 A^{2}$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A | \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} | - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} A & 4 A \\ - 6 A & 9 A \end{array} |$ .

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Schritt 3.2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (A (9 A) - (- 6 A (4 A))) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (9 A \cdot A - (- 6 A (4 A))) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Multipliziere

$A$ mit

$A$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1.2.1

Bewege

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (9 (A \cdot A) - (- 6 A (4 A))) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$A$ mit

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (9 A^{2} - (- 6 A (4 A))) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2.1.3

Multipliziere

$A$ mit

$A$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1.3.1

Bewege

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (9 A^{2} - (- 6 (A \cdot A) \cdot 4)) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2.1.3.2

Mutltipliziere

$A$ mit

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (9 A^{2} - (- 6 A^{2} \cdot 4)) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2.1.4

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 6$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (9 A^{2} - (- 24 A^{2})) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2.1.5

Mutltipliziere

$- 24$ mit

$- 1$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (9 A^{2} + 24 A^{2}) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere

$9 A^{2}$ und

$24 A^{2}$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A | \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$

Schritt 3.2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} A & - 4 A \\ - 6 A & - 2 A \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (A (- 2 A) - (- 6 A (- 4 A)))$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 2 A \cdot A - (- 6 A (- 4 A)))$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Multipliziere

$A$ mit

$A$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.2.1.2.1

Bewege

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 2 (A \cdot A) - (- 6 A (- 4 A)))$

Schritt 3.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$A$ mit

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 2 A^{2} - (- 6 A (- 4 A)))$

Schritt 3.2.4.2.1.3

Multipliziere

$A$ mit

$A$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.2.1.3.1

Bewege

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 2 A^{2} - (- 6 (A \cdot A) \cdot - 4))$

Schritt 3.2.4.2.1.3.2

Mutltipliziere

$A$ mit

$A$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 2 A^{2} - (- 6 A^{2} \cdot - 4))$

Schritt 3.2.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 6$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 2 A^{2} - (24 A^{2}))$

Schritt 3.2.4.2.1.5

Mutltipliziere

$24$ mit

$- 1$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 2 A^{2} - 24 A^{2})$

Schritt 3.2.4.2.2

Subtrahiere

$24 A^{2}$ von

$- 2 A^{2}$ .

$8 A (- 28 A^{2}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot - 28 A \cdot A^{2} + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.2

Multipliziere

$A$ mit

$A^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1.2.1

Bewege

$A^{2}$ .

$8 \cdot - 28 (A^{2} A) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere

$A^{2}$ mit

$A$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1.2.2.1

Potenziere

$A$ mit

$1$ .

$8 \cdot - 28 (A^{2} A^{1}) + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \cdot - 28 A^{2 + 1} + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.2.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$8 \cdot - 28 A^{3} + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.3

Mutltipliziere

$8$ mit

$- 28$ .

$- 224 A^{3} + 5 A (33 A^{2}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 224 A^{3} + 5 \cdot 33 A \cdot A^{2} - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.5

Multipliziere

$A$ mit

$A^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1.5.1

Bewege

$A^{2}$ .

$- 224 A^{3} + 5 \cdot 33 (A^{2} A) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.5.2

Mutltipliziere

$A^{2}$ mit

$A$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1.5.2.1

Potenziere

$A$ mit

$1$ .

$- 224 A^{3} + 5 \cdot 33 (A^{2} A^{1}) - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 224 A^{3} + 5 \cdot 33 A^{2 + 1} - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.5.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$- 224 A^{3} + 5 \cdot 33 A^{3} - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.6

Mutltipliziere

$5$ mit

$33$ .

$- 224 A^{3} + 165 A^{3} - 4 A (- 26 A^{2})$

Schritt 3.2.5.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 224 A^{3} + 165 A^{3} - 4 \cdot - 26 A \cdot A^{2}$

Schritt 3.2.5.1.8

Multipliziere

$A$ mit

$A^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.1.8.1

Bewege

$A^{2}$ .

$- 224 A^{3} + 165 A^{3} - 4 \cdot - 26 (A^{2} A)$

Schritt 3.2.5.1.8.2

Mutltipliziere

$A^{2}$ mit

$A$ .

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Schritt 3.2.5.1.8.2.1

Potenziere

$A$ mit

$1$ .

$- 224 A^{3} + 165 A^{3} - 4 \cdot - 26 (A^{2} A^{1})$

Schritt 3.2.5.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 224 A^{3} + 165 A^{3} - 4 \cdot - 26 A^{2 + 1}$

Schritt 3.2.5.1.8.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$- 224 A^{3} + 165 A^{3} - 4 \cdot - 26 A^{3}$

Schritt 3.2.5.1.9

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 26$ .

$- 224 A^{3} + 165 A^{3} + 104 A^{3}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere

$- 224 A^{3}$ und

$165 A^{3}$ .

$- 59 A^{3} + 104 A^{3}$

Schritt 3.2.5.3

Addiere

$- 59 A^{3}$ und

$104 A^{3}$ .

$45 A^{3}$

Schritt 3.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 3.4

Set up a

$3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A & 1 & 0 & 0 \\ A & - 4 A & 4 A & 0 & 1 & 0 \\ - 6 A & - 2 A & 9 A & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.5.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{8 A}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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Schritt 3.5.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{8 A}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 A}{8 A} & \frac{- 5 A}{8 A} & \frac{- 4 A}{8 A} & \frac{1}{8 A} & \frac{0}{8 A} & \frac{0}{8 A} \\ A & - 4 A & 4 A & 0 & 1 & 0 \\ - 6 A & - 2 A & 9 A & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ A & - 4 A & 4 A & 0 & 1 & 0 \\ - 6 A & - 2 A & 9 A & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - A R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

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Schritt 3.5.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - A R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ A - A \cdot 1 & - 4 A - A (- \frac{5}{8}) & 4 A - A (- \frac{1}{2}) & 0 - A \frac{1}{8 A} & 1 - A \cdot 0 & 0 - A \cdot 0 \\ - 6 A & - 2 A & 9 A & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{27 A}{8} & \frac{9 A}{2} & - \frac{1}{8} & 1 & 0 \\ - 6 A & - 2 A & 9 A & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 6 A R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 6 A R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{27 A}{8} & \frac{9 A}{2} & - \frac{1}{8} & 1 & 0 \\ - 6 A + 6 A \cdot 1 & - 2 A + 6 A (- \frac{5}{8}) & 9 A + 6 A (- \frac{1}{2}) & 0 + 6 A \frac{1}{8 A} & 0 + 6 A \cdot 0 & 1 + 6 A \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{27 A}{8} & \frac{9 A}{2} & - \frac{1}{8} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{23 A}{4} & 6 A & \frac{3}{4} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{8}{27 A}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{8}{27 A}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ - \frac{8}{27 A} \cdot 0 & - \frac{8}{27 A} (- \frac{27 A}{8}) & - \frac{8}{27 A} \cdot \frac{9 A}{2} & - \frac{8}{27 A} (- \frac{1}{8}) & - \frac{8}{27 A} \cdot 1 & - \frac{8}{27 A} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{23 A}{4} & 6 A & \frac{3}{4} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{27 A} & - \frac{8}{27 A} & 0 \\ 0 & - \frac{23 A}{4} & 6 A & \frac{3}{4} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{23 A}{4} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{23 A}{4} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{27 A} & - \frac{8}{27 A} & 0 \\ 0 + \frac{23 A}{4} \cdot 0 & - \frac{23 A}{4} + \frac{23 A}{4} \cdot 1 & 6 A + \frac{23 A}{4} (- \frac{4}{3}) & \frac{3}{4} + \frac{23 A}{4} \cdot \frac{1}{27 A} & 0 + \frac{23 A}{4} (- \frac{8}{27 A}) & 1 + \frac{23 A}{4} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.5.5.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{27 A} & - \frac{8}{27 A} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{5 A}{3} & \frac{26}{27} & - \frac{46}{27} & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.6

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$- \frac{3}{5 A}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.6.1

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$- \frac{3}{5 A}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{27 A} & - \frac{8}{27 A} & 0 \\ - \frac{3}{5 A} \cdot 0 & - \frac{3}{5 A} \cdot 0 & - \frac{3}{5 A} (- \frac{5 A}{3}) & - \frac{3}{5 A} \cdot \frac{26}{27} & - \frac{3}{5 A} (- \frac{46}{27}) & - \frac{3}{5 A} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.6.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{27 A} & - \frac{8}{27 A} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}]$

Schritt 3.5.7

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & \frac{1}{27 A} + \frac{4}{3} (- \frac{26}{45 A}) & - \frac{8}{27 A} + \frac{4}{3} \cdot \frac{46}{45 A} & 0 + \frac{4}{3} (- \frac{3}{5 A}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}]$

Schritt 3.5.7.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{8 A} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}]$

Schritt 3.5.8

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.8.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{8 A} + \frac{1}{2} (- \frac{26}{45 A}) & 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{46}{45 A} & 0 + \frac{1}{2} (- \frac{3}{5 A}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}]$

Schritt 3.5.8.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & 0 & - \frac{59}{360 A} & \frac{23}{45 A} & - \frac{3}{10 A} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}]$

Schritt 3.5.9

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{8} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.9.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{8} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{8} \cdot 0 & - \frac{5}{8} + \frac{5}{8} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{8} \cdot 0 & - \frac{59}{360 A} + \frac{5}{8} (- \frac{11}{15 A}) & \frac{23}{45 A} + \frac{5}{8} \cdot \frac{16}{15 A} & - \frac{3}{10 A} + \frac{5}{8} (- \frac{4}{5 A}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}]$

Schritt 3.5.9.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{28}{45 A} & \frac{53}{45 A} & - \frac{4}{5 A} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}]$

Schritt 3.6

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

Schritt 4

Multiply both sides by the inverse of

$[\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ - 6 A & - 2 A & 9 A \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{28}{45 A} & \frac{53}{45 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 A & - 5 A & - 4 A \\ A & - 4 A & 4 A \\ - 6 A & - 2 A & 9 A \end{array}] B = [\begin{array}{c} - \frac{28}{45 A} & \frac{53}{45 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}] [\begin{array}{c} - 7 & 2 & 5 \\ 9 & - 9 & 4 \\ 5 & - 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Multipliziere

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Schritt 5.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$3 \times 3$ and the second matrix is

$3 \times 3$ .

Schritt 5.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{28}{45 A} (8 A) + \frac{53}{45 A} A - \frac{4}{5 A} (- 6 A) & - \frac{28}{45 A} (- 5 A) + \frac{53}{45 A} (- 4 A) - \frac{4}{5 A} (- 2 A) & - \frac{28}{45 A} (- 4 A) + \frac{53}{45 A} (4 A) - \frac{4}{5 A} (9 A) \\ - \frac{11}{15 A} (8 A) + \frac{16}{15 A} A - \frac{4}{5 A} (- 6 A) & - \frac{11}{15 A} (- 5 A) + \frac{16}{15 A} (- 4 A) - \frac{4}{5 A} (- 2 A) & - \frac{11}{15 A} (- 4 A) + \frac{16}{15 A} (4 A) - \frac{4}{5 A} (9 A) \\ - \frac{26}{45 A} (8 A) + \frac{46}{45 A} A - \frac{3}{5 A} (- 6 A) & - \frac{26}{45 A} (- 5 A) + \frac{46}{45 A} (- 4 A) - \frac{3}{5 A} (- 2 A) & - \frac{26}{45 A} (- 4 A) + \frac{46}{45 A} (4 A) - \frac{3}{5 A} (9 A) \end{array}] B = [\begin{array}{c} - \frac{28}{45 A} & \frac{53}{45 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}] [\begin{array}{c} - 7 & 2 & 5 \\ 9 & - 9 & 4 \\ 5 & - 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 5.1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} - \frac{28}{45 A} & \frac{53}{45 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}] [\begin{array}{c} - 7 & 2 & 5 \\ 9 & - 9 & 4 \\ 5 & - 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 5.2

Multiplying the identity matrix by any matrix

$A$ is the matrix

$A$ itself.

$B = [\begin{array}{c} - \frac{28}{45 A} & \frac{53}{45 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{11}{15 A} & \frac{16}{15 A} & - \frac{4}{5 A} \\ - \frac{26}{45 A} & \frac{46}{45 A} & - \frac{3}{5 A} \end{array}] [\begin{array}{c} - 7 & 2 & 5 \\ 9 & - 9 & 4 \\ 5 & - 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 5.3

Multipliziere

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$3 \times 3$ and the second matrix is

$3 \times 3$ .

Schritt 5.3.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$B = [\begin{array}{c} - \frac{28}{45 A} \cdot - 7 + \frac{53}{45 A} \cdot 9 - \frac{4}{5 A} \cdot 5 & - \frac{28}{45 A} \cdot 2 + \frac{53}{45 A} \cdot - 9 - \frac{4}{5 A} \cdot - 1 & - \frac{28}{45 A} \cdot 5 + \frac{53}{45 A} \cdot 4 - \frac{4}{5 A} \cdot 5 \\ - \frac{11}{15 A} \cdot - 7 + \frac{16}{15 A} \cdot 9 - \frac{4}{5 A} \cdot 5 & - \frac{11}{15 A} \cdot 2 + \frac{16}{15 A} \cdot - 9 - \frac{4}{5 A} \cdot - 1 & - \frac{11}{15 A} \cdot 5 + \frac{16}{15 A} \cdot 4 - \frac{4}{5 A} \cdot 5 \\ - \frac{26}{45 A} \cdot - 7 + \frac{46}{45 A} \cdot 9 - \frac{3}{5 A} \cdot 5 & - \frac{26}{45 A} \cdot 2 + \frac{46}{45 A} \cdot - 9 - \frac{3}{5 A} \cdot - 1 & - \frac{26}{45 A} \cdot 5 + \frac{46}{45 A} \cdot 4 - \frac{3}{5 A} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$B = [\begin{array}{c} \frac{493}{45 A} & - \frac{497}{45 A} & - \frac{12}{5 A} \\ \frac{161}{15 A} & - \frac{154}{15 A} & - \frac{17}{5 A} \\ \frac{461}{45 A} & - \frac{439}{45 A} & - \frac{9}{5 A} \end{array}]$