Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 11 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y \\ 4 x + 3 y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 11 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

$3 x - 2 y = - 6$

$4 x + 3 y = 11$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $3 x - 2 y = - 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 6 + 2 y$

$4 x + 3 y = 11$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 6 + 2 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 6 + 2 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $3$ .

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 2 + \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x + 3 y = 11$ durch $- 2 + \frac{2 y}{3}$ .

$4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot - 2 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Multipliziere $4 \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2 y}{3}$ .

$- 8 + \frac{4 (2 y)}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $8 y + 3 y \cdot 3$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $8 y$ heraus.

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y \cdot 3$ heraus.

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)$ heraus.

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 8 + \frac{y (8 + 9)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.3

Addiere $8$ und $9$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Bringe $17$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse in $- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{17 y}{3} = 11 + 8$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $11$ und $8$ .

$\frac{17 y}{3} = 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{17 y}{3} = 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{17}$ .

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $17$ aus $17 y$ heraus.

$\frac{1}{17} \cdot (17 (y)) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Multipliziere $\frac{3}{17} \cdot 19$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kombiniere $\frac{3}{17}$ und $19$ .

$y = \frac{3 \cdot 19}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $19$ .

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{57}{17}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 2 + \frac{2 y}{3}$ durch $\frac{57}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{2 (\frac{57}{17})}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- 2 + \frac{2 (\frac{57}{17})}{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{57}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{2 \cdot 57}{17}}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $57$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{114}{17}}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - 2 + \frac{114}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $114$ heraus.

$x = - 2 + \frac{3 (38)}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 2 + \frac{3 \cdot 38}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{17}{17}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \cdot 17 + 38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $17$ .

$x = \frac{- 34 + 38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.4.2.1.5.2

Addiere $- 34$ und $38$ .

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{4}{17}, y = \frac{57}{17}$