Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x & 0 \\ x + y & z + 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x & 0 \\ x + y & z + 2 \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 3 x + 5 (x + y) & 3 \cdot 0 + 5 (z + 2) \\ 1 x + 2 (x + y) & 1 \cdot 0 + 2 (z + 2) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 8 x + 5 y & 5 z + 10 \\ 3 x + 2 y & 2 z + 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

$8 x + 5 y = 1$

$5 z + 10 = - 5$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $5 z + 10 = - 5$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 z = - 5 - 10$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $10$ von $- 5$ .

$5 z = - 15$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$5 z = - 15$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 z = - 15$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 z = - 15$ durch $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 z}{5} = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $- 15$ durch $5$ .

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $z$ in $2 z + 4 = - 2$ durch $- 3$ .

$2 (- 3) + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- 3) + 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $- 6$ und $4$ .

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.3

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.4

Löse in $8 x + 5 y = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = 1 - 5 y$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 1 - 5 y$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 1 - 5 y$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Schritt 3.5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Ersetze alle $x$ in $3 x + 2 y = 0$ durch $\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$ .

$3 (\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}) + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}) + 2 y$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{1}{8}) + 3 (- \frac{5 y}{8}) + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} + 3 (- \frac{5 y}{8}) + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{5 y}{8})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3}{8} - 3 \frac{5 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 y}{8}$ .

$\frac{3}{8} + \frac{- 3 (5 y)}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{3}{8} + \frac{- 15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3}{8} + \frac{- 15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.2

Um $2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + 2 y \cdot \frac{8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.3

Kombiniere $2 y$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + \frac{2 y \cdot 8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{8} + \frac{- 15 y + 2 y \cdot 8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 15 y + 2 y \cdot 8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{3 - 15 y + 16 y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.5.2.1.7

Addiere $- 15 y$ und $16 y$ .

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.6

Löse in $\frac{3 + y}{8} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$3 + y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$y = - 3$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Schritt 3.7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.7.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$ durch $- 3$ .

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 (- 3)}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Vereinfache $\frac{1}{8} - \frac{5 (- 3)}{8}$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - 5 \cdot - 3}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Schritt 3.7.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$x = \frac{1 + 15}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Schritt 3.7.2.1.2.2

Addiere $1$ und $15$ .

$x = \frac{16}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Schritt 3.7.2.1.2.3

Dividiere $16$ durch $8$ .

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

Schritt 3.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 2, y = - 3, z = - 3$