Finite Mathematik Beispiele

$n = 14$ , $x = 6$ , $p = 0.2$

Schritt 1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{14}C_{6} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von ${}_{14}C_{6}$ .

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Schritt 2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{14}C_{6} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(14)!}{(6)! (14 - 6)!}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $6$ von $14$ .

$\frac{(14)!}{(6)! (8)!}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $(14)!$ als $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!$ um.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{(6)! (8)!}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8!$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{(6)! (8)!}$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{(6)!}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $14$ mit $13$ .

$\frac{182 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{(6)!}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $182$ mit $12$ .

$\frac{2184 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{(6)!}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $2184$ mit $11$ .

$\frac{24024 \cdot 10 \cdot 9}{(6)!}$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $24024$ mit $10$ .

$\frac{240240 \cdot 9}{(6)!}$

Schritt 2.3.4.5

Mutltipliziere $240240$ mit $9$ .

$\frac{2162160}{(6)!}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.1

Multipliziere $(6)!$ nach $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ aus.

$\frac{2162160}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2

Multipliziere $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{2162160}{30 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $30$ mit $4$ .

$\frac{2162160}{120 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2.3

Mutltipliziere $120$ mit $3$ .

$\frac{2162160}{360 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2.4

Mutltipliziere $360$ mit $2$ .

$\frac{2162160}{720 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2.5

Mutltipliziere $720$ mit $1$ .

$\frac{2162160}{720}$

Schritt 2.3.6

Dividiere $2162160$ durch $720$ .

$3003$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$3003 \cdot {(0.2)}^{6} \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 6}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1

Potenziere $0.2$ mit $6$ .

$3003 \cdot 0.000064 \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 6}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3003$ mit $0.000064$ .

$0.192192 \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 6}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $0.2$ von $1$ .

$0.192192 \cdot {0.8}^{14 - 6}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $6$ von $14$ .

$0.192192 \cdot {0.8}^{8}$

Schritt 4.5

Potenziere $0.8$ mit $8$ .

$0.192192 \cdot 0.16777216$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $0.192192$ mit $0.16777216$ .

$0.03224446$