Finite Mathematik Beispiele

$x > 3$ , $n = 5$ , $p = 0.5$

Schritt 1

Subtrahiere $0.5$ von $1$ .

$0.5$

Schritt 2

Wenn der Wert der Anzahl der Erfolge $x$ als ein Intervall gegeben ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit von $x$ die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen $x$ -Werte zwischen $0$ und $n$ . In diesem Fall $p (x > 3) = P (x = 4) + P (x = 5)$ .

$p (x > 3) = P (x = 4) + P (x = 5)$

Schritt 3

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $P (4)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{5}C_{4} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 3.2

Ermittele den Wert von ${}_{5}C_{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{5}C_{4} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 3.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(5)!}{(4)! (5 - 4)!}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{(5)!}{(4)! (1)!}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $(5)!$ als $5 \cdot 4!$ um.

$\frac{5 \cdot 4!}{(4)! (1)!}$

Schritt 3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4!$ .

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Schritt 3.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 4!}{(4)! (1)!}$

Schritt 3.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{(1)!}$

Schritt 3.2.3.4

Multipliziere $(1)!$ nach $1$ aus.

$\frac{5}{1}$

Schritt 3.2.3.5

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5$

Schritt 3.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$5 \cdot {(0.5)}^{4} \cdot {(1 - 0.5)}^{5 - 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.1

Potenziere $0.5$ mit $4$ .

$5 \cdot 0.0625 \cdot {(1 - 0.5)}^{5 - 4}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $0.0625$ .

$0.3125 \cdot {(1 - 0.5)}^{5 - 4}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $0.5$ von $1$ .

$0.3125 \cdot {0.5}^{5 - 4}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$0.3125 \cdot {0.5}^{1}$

Schritt 3.4.5

Berechne den Exponenten.

$0.3125 \cdot 0.5$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $0.3125$ mit $0.5$ .

$0.15625$

Schritt 4

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $P (5)$ .

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Schritt 4.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{5}C_{5} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 4.2

Ermittele den Wert von ${}_{5}C_{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{5}C_{5} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 4.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(5)!}{(5)! (5 - 5)!}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(5)!$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5)!}{(5)! (5 - 5)!}$

Schritt 4.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(5 - 5)!}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{1}{(0)!}$

Schritt 4.2.3.2.2

Multipliziere $(0)!$ nach $1$ aus.

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.2.3.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 4.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$1 \cdot {(0.5)}^{5} \cdot {(1 - 0.5)}^{5 - 5}$

Schritt 4.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere ${(0.5)}^{5}$ mit $1$ .

${(0.5)}^{5} \cdot {(1 - 0.5)}^{5 - 5}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $0.5$ mit $5$ .

$0.03125 \cdot {(1 - 0.5)}^{5 - 5}$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $0.5$ von $1$ .

$0.03125 \cdot {0.5}^{5 - 5}$

Schritt 4.4.4

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$0.03125 \cdot {0.5}^{0}$

Schritt 4.4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0.03125 \cdot 1$

Schritt 4.4.6

Mutltipliziere $0.03125$ mit $1$ .

$0.03125$

Schritt 5

Addiere $0.15625$ und $0.03125$ .

$p (x > 3) = 0.1875$