Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Eine rationale Funktion ist jede Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen geschrieben werden kann, wobei der Zähler nicht $0$ ist.

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ ist eine rationale Funktion

Schritt 2

Eine rationale Funktion ist echt, wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners, andernfalls ist sie unecht.

Ein Zähler mit einem Grad kleiner als der des Nenners impliziert eine echte Funktion

Ein Zähler mit einem Grad größer als der des Nenners impliziert eine unechte Funktion

Gleichheit der Grade von Zähler und Nenner impliziert eine unechte Funktion

Schritt 3

Ermittele den Grad des Zählers.

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Schritt 3.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.4

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.4.1

Bewege $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $3^{2}$ mit $3$ .

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Schritt 3.1.2.4.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.9

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Schritt 3.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$3$

Schritt 4

Ermittele den Grad des Nenners.

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Schritt 4.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 4.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Schritt 4.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$4$

Schritt 5

Der Grad des Zählers $3$ ist kleiner als der Grad des Nenners $4$ .

$3 < 4$

Schritt 6

Der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners, was bedeutet, dass $f (x)$ eine echte Funktion ist.

Echt