Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} + x$ , $[- 1, 2]$

Schritt 1

Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn $f$ eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall $[a, b]$ ist und $u$ eine Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ ist, dann ist ein $c$ im Intervall $[a, b]$ enthalten, sodass $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Berechne $f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

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Schritt 3.1

Entferne die Klammern.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Schritt 3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 4

Berechne $f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Schritt 4.3

Addiere $4$ und $2$ .

$f (2) = 6$

Schritt 5

Da sich $0$ im Intervall $[0, 6]$ befindet, löse die Gleichung an der Wurzel nach $x$ auf, indem du $y$ in $y = x^{2} + x$ gleich $0$ setzt.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + x = 0$ um.

$x^{2} + x = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + x = 0$

Schritt 5.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$x (x + 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 6

Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel $f (c) = 0$ im Intervall $[0, 6]$ gibt, weil $f$ eine im Intervall $[- 1, 2]$ stetige Funktion ist.

Die Wurzeln im Intervall $[- 1, 2]$ befinden sich bei $x = 0, x = - 1$ .

Schritt 7