Finite Mathematik Beispiele

$y = 64 - x^{2}$ , $[- 8, 8]$

Schritt 1

Stelle $64$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 64$

Schritt 2

Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn $f$ eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall $[a, b]$ ist und $u$ eine Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ ist, dann ist ein $c$ im Intervall $[a, b]$ enthalten, sodass $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Berechne $f (a) = f (- 8) = - {(- 8)}^{2} + 64$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$f (- 8) = - 64 + 64$

Schritt 4.2

Addiere $- 64$ und $64$ .

$f (- 8) = 0$

Schritt 5

Berechne $f (b) = f (8) = - {(8)}^{2} + 64$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$f (8) = - 64 + 64$

Schritt 5.2

Addiere $- 64$ und $64$ .

$f (8) = 0$

Schritt 6

Da sich $0$ im Intervall $[0, 0]$ befindet, löse die Gleichung an der Wurzel nach $x$ auf, indem du $y$ in $y = - x^{2} + 64$ gleich $0$ setzt.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} + 64 = 0$ um.

$- x^{2} + 64 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 64$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 64$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 64$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividiere $- 64$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Schritt 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 6.5

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 6.5.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 6.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 6.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 6.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 6.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 7

Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel $f (c) = 0$ im Intervall $[0, 0]$ gibt, weil $f$ eine im Intervall $[- 8, 8]$ stetige Funktion ist.

Die Wurzeln im Intervall $[- 8, 8]$ befinden sich bei $x = 8, x = - 8$ .

Schritt 8