Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{3 x^{2} - 5 x}$ , $[10, 11]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x}{3 x^{2} - 5 x}$ als Gleichung.

$y = \frac{x}{3 x^{2} - 5 x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (11) - f (10)}{(11) - (10)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{x}{3 x^{2} - 5 x}$ für $f (11)$ und $f (10)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{11}{3 {(11)}^{2} - 5 \cdot 11}) - (\frac{10}{3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10})}{(11) - (10)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $11$ und $3 {(11)}^{2} - 5 \cdot 11$ .

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11$ heraus.

$\frac{\frac{11 \cdot 1}{3 \cdot 11^{2} - 5 \cdot 11} - (\frac{10}{3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10})}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $11$ aus $3 \cdot 11^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{11 \cdot 1}{11 (3 \cdot 11) - 5 \cdot 11} - (\frac{10}{3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10})}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.1.2.2

Faktorisiere $11$ aus $- 5 \cdot 11$ heraus.

$\frac{\frac{11 \cdot 1}{11 (3 \cdot 11) + 11 \cdot - 5} - (\frac{10}{3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10})}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.1.2.3

Faktorisiere $11$ aus $11 (3 \cdot 11) + 11 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{\frac{11 \cdot 1}{11 (3 \cdot 11 - 5)} - (\frac{10}{3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10})}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{11 \cdot 1}{11 (3 \cdot 11 - 5)} - (\frac{10}{3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10})}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - (\frac{10}{3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10})}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10$ .

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{10 \cdot 1}{3 \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10}}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $3 \cdot 10^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{10 \cdot 1}{10 (3 \cdot 10) - 5 \cdot 10}}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.2.2.2

Faktorisiere $10$ aus $- 5 \cdot 10$ heraus.

$\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{10 \cdot 1}{10 (3 \cdot 10) + 10 \cdot - 5}}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.2.2.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (3 \cdot 10) + 10 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{10 \cdot 1}{10 (3 \cdot 10 - 5)}}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{10 \cdot 1}{10 (3 \cdot 10 - 5)}}{(11) - (10)}$

Schritt 3.1.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{1}{3 \cdot 10 - 5}}{(11) - (10)}$

Schritt 3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5)$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{1}{3 \cdot 10 - 5}}{11 - (10)}$ mit $\frac{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5)}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5)}$ .

$\frac{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5)}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5)} \cdot \frac{\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{1}{3 \cdot 10 - 5}}{11 - (10)}$

Schritt 3.2.2

Kombinieren.

$\frac{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (\frac{1}{3 \cdot 11 - 5} - \frac{1}{3 \cdot 10 - 5})}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (11 - (10))}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \frac{1}{3 \cdot 11 - 5} + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- \frac{1}{3 \cdot 10 - 5})}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.4

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \cdot 11 - 5$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 10 - 5 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- \frac{1}{3 \cdot 10 - 5})}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \cdot 10 - 5$ .

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Schritt 3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3 \cdot 10 - 5}$ in den Zähler.

$\frac{3 \cdot 10 - 5 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \frac{- 1}{3 \cdot 10 - 5}}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $3 \cdot 10 - 5$ aus $(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5)$ heraus.

$\frac{3 \cdot 10 - 5 + (3 \cdot 10 - 5) (3 \cdot 11 - 5) \frac{- 1}{3 \cdot 10 - 5}}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 10 - 5 + (3 \cdot 10 - 5) (3 \cdot 11 - 5) \frac{- 1}{3 \cdot 10 - 5}}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 10 - 5 + (3 \cdot 11 - 5) \cdot - 1}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$\frac{3 \cdot 10 - 5 + (33 - 5) \cdot - 1}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{30 - 5 + (33 - 5) \cdot - 1}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $5$ von $33$ .

$\frac{30 - 5 + 28 \cdot - 1}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $28$ mit $- 1$ .

$\frac{30 - 5 - 28}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.5.4

Subtrahiere $5$ von $30$ .

$\frac{25 - 28}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.5.5

Subtrahiere $28$ von $25$ .

$\frac{- 3}{(3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$\frac{- 3}{(33 - 5) (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $5$ von $33$ .

$\frac{- 3}{28 (3 \cdot 10 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{- 3}{28 (30 - 5) \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.4

Subtrahiere $5$ von $30$ .

$\frac{- 3}{28 \cdot 25 \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.5

Multipliziere $28 \cdot 25 \cdot 11$ .

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Schritt 3.6.5.1

Mutltipliziere $28$ mit $25$ .

$\frac{- 3}{700 \cdot 11 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.5.2

Mutltipliziere $700$ mit $11$ .

$\frac{- 3}{7700 + (3 \cdot 11 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.6

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$\frac{- 3}{7700 + (33 - 5) (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.7

Subtrahiere $5$ von $33$ .

$\frac{- 3}{7700 + 28 (3 \cdot 10 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.8

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{- 3}{7700 + 28 (30 - 5) (- (10))}$

Schritt 3.6.9

Subtrahiere $5$ von $30$ .

$\frac{- 3}{7700 + 28 \cdot 25 (- (10))}$

Schritt 3.6.10

Multipliziere $28 \cdot 25 (- (10))$ .

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Schritt 3.6.10.1

Mutltipliziere $28$ mit $25$ .

$\frac{- 3}{7700 + 700 (- (10))}$

Schritt 3.6.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{- 3}{7700 + 700 \cdot - 10}$

Schritt 3.6.10.3

Mutltipliziere $700$ mit $- 10$ .

$\frac{- 3}{7700 - 7000}$

Schritt 3.6.11

Subtrahiere $7000$ von $7700$ .

$\frac{- 3}{700}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{700}$