Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ , $[- 1, 16]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ als Gleichung.

$y = e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (16) - f (- 1)}{(16) - (- 1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = e^{- \frac{x}{2}}$ für $f (16)$ und $f (- 1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(e^{- \frac{16}{2}}) - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{e^{- \frac{2 \cdot 8}{2}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{e^{- \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- \frac{8}{1}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Schritt 3.1.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{e^{- 1 \cdot 8} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{e^{- 8} - e^{- \frac{- 1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{- \frac{- 1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{- - \frac{1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{1 (\frac{1}{2})}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{\frac{1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.5

Um $- e^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $- e^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- e^{\frac{1}{2}} e^{8}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{1}{2}} e^{8}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.8

Multipliziere $e^{\frac{1}{2}}$ mit $e^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.8.1

Bewege $e^{8}$ .

$\frac{\frac{1 - (e^{8} e^{\frac{1}{2}})}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1 - e^{8 + \frac{1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.8.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1 - e^{8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.8.4

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{8 \cdot 2 + 1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.8.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{16 + 1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.2.8.6.2

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}}{16 + 1}$

Schritt 3.3.2

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}}{17}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}} \cdot \frac{1}{17}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}$ mit $\frac{1}{17}$ .

$\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8} \cdot 17}$

Schritt 3.6

Bringe $17$ auf die linke Seite von $e^{8}$ .

$\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{17 e^{8}}$