Finite Mathematik Beispiele

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - x^{3} + 2 x + 1$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - x^{3} + 2 x + 1$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - x^{3} + 2 x + 1$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Schritt 5

Faktorisiere $- x^{3} + 2 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 5.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 5.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- - 1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 + 1$

Schritt 5.3.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 5.3.6

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 5.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 2 x + 1}{x + 1}$

Schritt 5.5

Dividiere $- x^{3} + 2 x + 1$ durch $x + 1$ .

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Schritt 5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Schritt 5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$

Schritt 5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Schritt 5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Schritt 5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Schritt 5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Schritt 5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Schritt 5.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + x + 1$

Schritt 5.6

Schreibe $- x^{3} + 2 x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Schritt 6

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) - x^{2} + x + 1)$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Schritt 8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Schritt 8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Schritt 8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Schritt 9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Schritt 10

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Schritt 11

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)$