Finite Mathematik Beispiele

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Schritt 1.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{b} (16)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (16)}{2} - \log_{b} (8)$

Schritt 1.1.2

Um $- \log_{b} (8)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} - \log_{b} (8) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $- \log_{b} (8)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{- \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.1.1

Faktorisiere $\log_{b} (8)$ aus $2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3$ heraus.

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Schritt 1.1.4.1.1.1

Faktorisiere $\log_{b} (8)$ aus $2 \log_{b} (8)$ heraus.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Schritt 1.1.4.1.1.2

Faktorisiere $\log_{b} (8)$ aus $- \log_{b} (8) \cdot 3$ heraus.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)}{3}$

Schritt 1.1.4.1.1.3

Faktorisiere $\log_{b} (8)$ aus $\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 1 \cdot 3)}{3}$

Schritt 1.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 3)}{3}$

Schritt 1.1.4.1.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot - 1}{3}$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{- 1 \cdot \log_{b} (8)}{3}$

Schritt 1.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ mit $6$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ mit $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (16) \cdot 3 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\log_{b} (16)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (16) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\log_{b} (8)}{3}$ in den Zähler.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 2.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 2.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - \log_{b} (8) \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $6 \log_{b} (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $3 \log_{b} (16)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16^{3}) - 2 \log_{b} (8)$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - 2 \log_{b} (8)$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache $- 2 \log_{b} (8)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (8^{2})$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (64)$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096}{64})$

Schritt 4.1.3

Dividiere $4096$ durch $64$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{6} = 64$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{64}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$