Finite Mathematik Beispiele

$| x^{2} + 2 x - 15 | = | x - 3 |$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$ um.

$| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$

Schritt 2

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

$- (x - 3) = x^{2} + 2 x - 15$

$- (x - 3) = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Schritt 3

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Schritt 4

Löse $x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x - 15 = x - 3$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - 15 - x = - 3$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x^{2} + x - 15 = - 3$

Schritt 4.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 15 + 3 = 0$

Schritt 4.4

Addiere $- 15$ und $3$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 4.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.8

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4$

Schritt 5

Löse $x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache $- (x^{2} + 2 x - 15)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Forme um.

$0 + 0 - (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (2 x) - - 15 = x - 3$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - - 15 = x - 3$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 15$ .

$- x^{2} - 2 x + 15 = x - 3$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 2 x + 15 - x = - 3$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$- x^{2} - 3 x + 15 = - 3$

Schritt 5.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 3 x + 15 + 3 = 0$

Schritt 5.5

Addiere $15$ und $3$ .

$- x^{2} - 3 x + 18 = 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} - 3 x + 18$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 3 x + 18 = 0$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (3 x) + 18 = 0$

Schritt 5.6.1.3

Schreibe $18$ als $- 1 (- 18)$ um.

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Schritt 5.6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (3 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Schritt 5.6.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 18)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x - 18) = 0$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $3$ ist.

$- 3, 6$

Schritt 5.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 6)) = 0$

Schritt 5.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 6) = 0$

Schritt 5.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 5.8

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.9

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 5.9.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 5.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 6$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = 3, - 4, 3, - 6$