Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 4 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - 4 \\ - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 4 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - 4 \\ - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}) + 4 \cdot - 2 & \frac{1}{3} \cdot - 4 + 4 (\frac{1}{2}) \\ 2 (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot - 2 & 2 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} - \frac{73}{9} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & - \frac{33}{4} \end{array}]$

Schritt 2

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 3

Find the determinant.

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- \frac{73}{9} (- \frac{33}{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{73}{9}$ in den Zähler.

$\frac{- 73}{9} (- \frac{33}{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{33}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 73}{9} \cdot \frac{- 33}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{- 73}{3 (3)} \cdot \frac{- 33}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $- 33$ heraus.

$\frac{- 73}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 73}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 73}{3} \cdot \frac{- 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 73}{3}$ mit $\frac{- 11}{4}$ .

$\frac{- 73 \cdot - 11}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 73$ mit $- 11$ .

$\frac{803}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{803}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{803}{12} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{803}{12} - \frac{2}{9}$

Schritt 3.2.2

Um $\frac{803}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{803}{12} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

Schritt 3.2.3

Um $- \frac{2}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{803}{12} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{803}{12}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{803 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4}$

Schritt 3.2.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2 \cdot 4}{36}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{803 \cdot 3 - 2 \cdot 4}{36}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $803$ mit $3$ .

$\frac{2409 - 2 \cdot 4}{36}$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{2409 - 8}{36}$

Schritt 3.2.6.3

Subtrahiere $8$ von $2409$ .

$\frac{2401}{36}$

Schritt 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 5

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{2401}{36}} [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{36}{2401}) [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{36}{2401}$ mit $1$ .

$\frac{36}{2401} [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Schritt 8

Multipliziere $\frac{36}{2401}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{36}{2401} (- \frac{33}{4}) & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{33}{4}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{4 (9)}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 9}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{2401} \cdot - 33 & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{9}{2401}$ und $- 33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9 \cdot - 33}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 297}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{3 (12)}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{3 \cdot 12}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.5.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{12}{2401} \cdot - 2 \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.6

Kombiniere $\frac{12}{2401}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{12 \cdot - 2}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.7

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{- 24}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.9.2

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{3 (12)}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{3 \cdot 12}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.9.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{12}{2401} \cdot - 1 & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.10

Kombiniere $\frac{12}{2401}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{12 \cdot - 1}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.11

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{- 12}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Schritt 9.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 9.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{73}{9}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Schritt 9.13.2

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{9 (4)}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Schritt 9.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{9 \cdot 4}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Schritt 9.13.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{4}{2401} \cdot - 73 \end{array}]$

Schritt 9.14

Kombiniere $\frac{4}{2401}$ und $- 73$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{4 \cdot - 73}{2401} \end{array}]$

Schritt 9.15

Mutltipliziere $4$ mit $- 73$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{- 292}{2401} \end{array}]$

Schritt 9.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & - \frac{292}{2401} \end{array}]$