Finite Mathematik Beispiele

$2 x + 2 y = 3$ , $- x + 2 y = 1$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 3 - 2 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3 - 2 x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3 - 2 x$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 1.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2} + \frac{- x}{1}$

Schritt 1.3.3.1.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{2} - x$

Schritt 1.4

Stelle $\frac{3}{2}$ und $- x$ um.

$y = - x + \frac{3}{2}$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- 1$ .

$m_{1} = - 1$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 1 + x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1 + x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1 + x$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $\frac{1}{2}$ und $\frac{x}{2}$ um.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{1}{2}$ .

$m_{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$2 x + 2 y = 3, - x + 2 y = 1$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $2 x + 2 y = 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3 - 2 y$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 - 2 y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 - 2 y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} + \frac{- y}{1}$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.1.2.3.1.2.4

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3}{2} - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $- x + 2 y = 1$ durch $\frac{3}{2} - y$ .

$- (\frac{3}{2} - y) + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $- (\frac{3}{2} - y) + 2 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.2.2.1.2

Addiere $y$ und $2 y$ .

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3

Löse in $- \frac{3}{2} + 3 y = 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 1 + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 y = \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 y = \frac{2 + 3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.1.4

Addiere $2$ und $3$ .

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{5}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{5}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.2.3.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.3.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{5}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.3.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{5}{6}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{3}{2} - y$ durch $\frac{5}{6}$ .

$x = \frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \cdot 3 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{9 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.4.2

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 6.4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.4.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = - 1$

$m_{2} = \frac{1}{2}$

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Schritt 8