Finite Mathematik Beispiele

$12 x - 5 y = 9$ , $3 x - 8 y = - 18$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y = 9 - 12 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 9 - 12 x$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 9 - 12 x$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{9}{5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Schritt 1.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{9}{5} + \frac{12 x}{5}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $- \frac{9}{5}$ und $\frac{12 x}{5}$ um.

$y = \frac{12 x}{5} - \frac{9}{5}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{12}{5} x - \frac{9}{5}$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{12}{5}$ .

$m_{1} = \frac{12}{5}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y = - 18 - 3 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = - 18 - 3 x$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = - 18 - 3 x$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $- 8$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 18$ heraus.

$y = \frac{- 2 (9)}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 8$ heraus.

$y = \frac{- 2 \cdot 9}{- 2 \cdot 4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2 \cdot 9}{- 2 \cdot 4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{9}{4} + \frac{3 x}{8}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $\frac{9}{4}$ und $\frac{3 x}{8}$ um.

$y = \frac{3 x}{8} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{8} x + \frac{9}{4}$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{3}{8}$ .

$m_{2} = \frac{3}{8}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$12 x - 5 y = 9, 3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $12 x - 5 y = 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = 9 + 5 y$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 9 + 5 y$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 9 + 5 y$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $12$ .

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Schritt 6.1.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = \frac{3 (3)}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - 8 y = - 18$ durch $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ .

$3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{3}{4}) + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Multipliziere $3 (\frac{3}{4})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 (4)}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 \cdot 4}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.2

Um $- 8 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y \cdot \frac{4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.3

Kombiniere $- 8 y$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{- 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 + 5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$\frac{9 + 5 y - 32 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.7

Subtrahiere $32 y$ von $5 y$ .

$\frac{9 - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.8

Faktorisiere $9$ aus $9 - 27 y$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1.8.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{9 (1) - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.8.2

Faktorisiere $9$ aus $- 27 y$ heraus.

$\frac{9 (1) + 9 (- 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.2.2.1.8.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- 3 y)$ heraus.

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3

Löse in $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \cdot 1 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$9 - 27 y = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.2.1.1.3.3

Stelle $9$ und $- 27 y$ um.

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 y = - 72 - 9$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.3.1.2

Subtrahiere $9$ von $- 72$ .

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 27 y = - 81$ durch $- 27$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 27 y = - 81$ durch $- 27$ .

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 27$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Dividiere $- 81$ durch $- 27$ .

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ durch $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{15}{12}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $12$ .

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Schritt 6.4.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 (5)}{12}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 + 5}{4}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.2.1.4.1

Addiere $3$ und $5$ .

$x = \frac{8}{4}$

$y = 3$

Schritt 6.4.2.1.4.2

Dividiere $8$ durch $4$ .

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 3)$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = \frac{12}{5}$

$m_{2} = \frac{3}{8}$

$(2, 3)$

Schritt 8