Finite Mathematik Beispiele

$y = - \frac{1}{3} x + 3$ , $- 3 x + y = - 7$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 1.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{3} x) + 3$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} x + 3$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{1}{3}$ .

$m_{1} = - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 7 + 3 x$

Schritt 3.3

Stelle $- 7$ und $3 x$ um.

$y = 3 x - 7$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $3$ .

$m_{2} = 3$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$y = - \frac{1}{3} x + 3, - 3 x + y = - 7$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- 3 x + y = - 7$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{x}{3} + 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $y$ in $- 3 x + y = - 7$ durch $- \frac{x}{3} + 3$ .

$- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $- 3 x - \frac{x}{3} + 3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.2

Um $- 3 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Kombiniere $- 3 x$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x \cdot 3 - x$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x (- 3 \cdot 3) - x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{x (- 9 - 1)}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 9$ .

$\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 10 \cdot x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.2.2.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3

Löse in $- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{10 x}{3} = - 7 - 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $3$ von $- 7$ .

$- \frac{10 x}{3} = - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} = - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{10} (- \frac{10 x}{3})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{10}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10 x}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{10} \cdot - 10$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{10}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.2.1.1.2

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$x = \frac{- 3}{10} \cdot (10 (- 1))$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3}{10} \cdot (10 \cdot - 1)$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - \frac{x}{3} + 3$ durch $3$ .

$y = - \frac{3}{3} + 3$

$x = 3$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{3} + 3$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{3}{3} + 3$

$x = 3$

Schritt 6.4.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 \cdot 1 + 3$

$x = 3$

$y = - 1 \cdot 1 + 3$

$x = 3$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - 1 + 3$

$x = 3$

$y = - 1 + 3$

$x = 3$

Schritt 6.4.2.1.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 2)$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = - \frac{1}{3}$

$m_{2} = 3$

$(3, 2)$

Schritt 8