Finite Mathematik Beispiele

$x - 3 y = 9$ , $3 x - y = 7$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 9 - x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 9 - x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 9 - x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Dividiere $9$ durch $- 3$ .

$y = - 3 + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 3 + \frac{x}{3}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $- 3$ und $\frac{x}{3}$ um.

$y = \frac{x}{3} - 3$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{3} x - 3$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{1}{3}$ .

$m_{1} = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 7 - 3 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- y = 7 - 3 x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 7 - 3 x$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Dividiere $7$ durch $- 1$ .

$y = - 7 + \frac{- 3 x}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y = - 7 - 1 \cdot (- 3 x)$

Schritt 3.3.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (- 3 x)$ als $- (- 3 x)$ um.

$y = - 7 - (- 3 x)$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - 7 + 3 x$

Schritt 3.4

Stelle $- 7$ und $3 x$ um.

$y = 3 x - 7$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $3$ .

$m_{2} = 3$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$x - 3 y = 9, 3 x - y = 7$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9 + 3 y$

$3 x - y = 7$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $9 + 3 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - y = 7$ durch $9 + 3 y$ .

$3 (9 + 3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $3 (9 + 3 y) - y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 9 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.2.2.1.2

Subtrahiere $y$ von $9 y$ .

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3

Löse in $27 + 8 y = 7$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = 7 - 27$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $27$ von $7$ .

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - 20$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - 20$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $8$ .

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Schritt 6.3.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$y = \frac{4 (- 5)}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{5}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 9 + 3 y$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$x = 9 + 3 (- \frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $9 + 3 (- \frac{5}{2})$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Multipliziere $3 (- \frac{5}{2})$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = 9 - 3 (\frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5}{2}$ .

$x = 9 + \frac{- 3 \cdot 5}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{9 \cdot 2 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{18 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.4.2.1.5.2

Subtrahiere $15$ von $18$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = \frac{1}{3}$

$m_{2} = 3$

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 8