Finite Mathematik Beispiele

$- 7 x + 3 y = 4$ , $4 x - 5 y = 24$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Addiere $7 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 4 + 7 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 + 7 x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 + 7 x$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $\frac{4}{3}$ und $\frac{7 x}{3}$ um.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{7}{3}$ .

$m_{1} = \frac{7}{3}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y = 24 - 4 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 24 - 4 x$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 24 - 4 x$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{4 x}{5}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $- \frac{24}{5}$ und $\frac{4 x}{5}$ um.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{24}{5}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{4}{5} x - \frac{24}{5}$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{4}{5}$ .

$m_{2} = \frac{4}{5}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$- 7 x + 3 y = 4, 4 x - 5 y = 24$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $- 7 x + 3 y = 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x = 4 - 3 y$

$4 x - 5 y = 24$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = 4 - 3 y$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = 4 - 3 y$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Schritt 6.1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x - 5 y = 24$ durch $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ .

$4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Multipliziere $4 (- \frac{4}{7})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{7}$ .

$\frac{- 4 \cdot 4}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Multipliziere $4 \frac{3 y}{7}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{4 (3 y)}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.2

Um $- 5 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y \cdot \frac{7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.3

Kombiniere $- 5 y$ und $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} + \frac{- 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 16 + 12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$\frac{- 16 + 12 y - 35 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.7

Subtrahiere $35 y$ von $12 y$ .

$\frac{- 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.8

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$\frac{- 1 \cdot 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 23 y$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot 16 - (23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (16) - (23 y)$ heraus.

$\frac{- 1 (16 + 23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.2.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3

Löse in $- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 7$ .

$- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16 + 23 y}{7}$ in den Zähler.

$- 7 \frac{- (16 + 23 y)}{7} = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.2.1.1.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$7 (- 1) (\frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (16 + 23 y) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $16 + 23 y$ mit $1$ .

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $24$ .

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$23 y = - 168 - 16$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.3.2

Subtrahiere $16$ von $- 168$ .

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $23 y = - 184$ durch $23$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $23 y = - 184$ durch $23$ .

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $23$ .

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Schritt 6.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.1

Dividiere $- 184$ durch $23$ .

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ durch $- 8$ .

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 4 + 3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Schritt 6.4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 4 - 24}{7}$

$y = - 8$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Subtrahiere $24$ von $- 4$ .

$x = \frac{- 28}{7}$

$y = - 8$

Schritt 6.4.2.1.2.3

Dividiere $- 28$ durch $7$ .

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 4, - 8)$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = \frac{7}{3}$

$m_{2} = \frac{4}{5}$

$(- 4, - 8)$

Schritt 8