Finite Mathematik Beispiele

$4 y = 3 x + 16$ , $- 4 y = 3 x - 12$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 3 x + 16$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 3 x + 16$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{4} x + 4$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{3}{4}$ .

$m_{1} = \frac{3}{4}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 3 x - 12$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 3 x - 12$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{3 x}{- 4} + \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{3 x}{- 4} + \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{- 4} + \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 3.2.3.1.2

Dividiere $- 12$ durch $- 4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 3$

Schritt 3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{4} x) + 3$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} x + 3$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{3}{4}$ .

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$4 y = 3 x + 16, - 4 y = 3 x - 12$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 3 x + 16$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 3 x + 16$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

Schritt 6.1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 4 y = 3 x - 12$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{3 x}{4} + 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $y$ in $- 4 y = 3 x - 12$ durch $\frac{3 x}{4} + 4$ .

$- 4 (\frac{3 x}{4} + 4) = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $- 4 (\frac{3 x}{4} + 4)$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \frac{3 x}{4} - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) (\frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot (- 1 \frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (3 x) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 1 (3 x) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.2.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3

Löse in $- 3 x - 16 = 3 x - 12$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x - 16 - 3 x = - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$- 6 x - 16 = - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 6 x - 16 = - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x = - 12 + 16$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $- 12$ und $16$ .

$- 6 x = 4$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 6 x = 4$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = 4$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = 4$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 6$ .

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Schritt 6.3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{- 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{2}{- 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{2}{- 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{2}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $x$ in $y = \frac{3 x}{4} + 4$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$y = \frac{3 (- \frac{2}{3})}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $\frac{3 (- \frac{2}{3})}{4} + 4$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 (\frac{2}{3})}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{3}}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{3}}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{\frac{- 6}{3}}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.3

Dividiere $- 6$ durch $3$ .

$y = \frac{- 2}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1)}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{- 1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{- 1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = - \frac{1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + 4 \cdot 2}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 1 + 8}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.4.2.1.5.2

Addiere $- 1$ und $8$ .

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{2}{3}, \frac{7}{2})$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

$(- \frac{2}{3}, \frac{7}{2})$

Schritt 8