Finite Mathematik Beispiele

$4 x + 5 y = 8$ , $5 x - 4 y = 2$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = 8 - 4 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 8 - 4 x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 8 - 4 x$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{8}{5} - \frac{4 x}{5}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $\frac{8}{5}$ und $- \frac{4 x}{5}$ um.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{8}{5}$

Schritt 1.4.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{8}{5}$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{4}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = 2 - 5 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 2 - 5 x$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 2 - 5 x$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 4$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (1)}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{- 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Schritt 3.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{5 x}{4}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $- \frac{1}{2}$ und $\frac{5 x}{4}$ um.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{5}{4} x - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{5}{4}$ .

$m_{2} = \frac{5}{4}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$4 x + 5 y = 8, 5 x - 4 y = 2$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $4 x + 5 y = 8$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 8 - 5 y$

$5 x - 4 y = 2$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 8 - 5 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 8 - 5 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.3.1.1

Dividiere $8$ durch $4$ .

$x = 2 + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Schritt 6.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2 - \frac{5 y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $5 x - 4 y = 2$ durch $2 - \frac{5 y}{4}$ .

$5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 2 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Multipliziere $5 (- \frac{5 y}{4})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$10 - 5 \frac{5 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5 y}{4}$ .

$10 + \frac{- 5 (5 y)}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.2

Um $- 4 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y \cdot \frac{4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Kombiniere $- 4 y$ und $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} + \frac{- 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 25 y - 4 y \cdot 4$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 25 y$ heraus.

$10 + \frac{y \cdot - 25 - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y \cdot 4$ heraus.

$10 + \frac{y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)$ heraus.

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 16)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $- 25$ .

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Bringe $- 41$ auf die linke Seite von $y$ .

$10 + \frac{- 41 \cdot y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3

Löse in $10 - \frac{41 y}{4} = 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{41 y}{4} = 2 - 10$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $10$ von $2$ .

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{41}$ .

$- \frac{4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{41} (- \frac{41 y}{4})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{41}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{41 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $41$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $41$ aus $- 41 y$ heraus.

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Multipliziere $- \frac{4}{41} \cdot - 8$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = 8 (\frac{4}{41})$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{41}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.3.3.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{32}{41}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 2 - \frac{5 y}{4}$ durch $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{\frac{5 \cdot 32}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $32$ .

$x = 2 - \frac{\frac{160}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = 2 - (\frac{160}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $160$ heraus.

$x = 2 - (\frac{4 (40)}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 - (\frac{4 \cdot 40}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{41}{41}$ .

$x = 2 \cdot \frac{41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{41}{41}$ .

$x = \frac{2 \cdot 41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \cdot 41 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $41$ .

$x = \frac{82 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.4.2.1.5.2

Subtrahiere $40$ von $82$ .

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

$m_{2} = \frac{5}{4}$

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Schritt 8