Finite Mathematik Beispiele

${(- \sqrt{3} + i)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

${(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$- \sqrt{3^{3}} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \sqrt{27} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$- \sqrt{9 (3)} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- (3 \sqrt{3}) + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.8

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$- 3 \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 (1 {\sqrt{3}}^{2}) i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.11

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.14

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} \cdot - 1 + i^{3}$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} + i^{3}$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} + i^{2} \cdot i$

Schritt 2.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} - 1 \cdot i$

Schritt 2.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} - i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Addiere $- 3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$0 + 9 i - i$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $9 i$ .

$9 i - i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $i$ von $9 i$ .

$8 i$