Finite Mathematik Beispiele

$2 x - 3 y = 4$ , $3 x - 5 y = 2$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 4 - 2 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 4 - 2 x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 4 - 2 x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Schritt 1.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{2 x}{3}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $- \frac{4}{3}$ und $\frac{2 x}{3}$ um.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{2}{3}$ .

$m_{1} = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y = 2 - 3 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 2 - 3 x$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 2 - 3 x$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{3 x}{5}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $- \frac{2}{5}$ und $\frac{3 x}{5}$ um.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2}{5}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{3}{5}$ .

$m_{2} = \frac{3}{5}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$2 x - 3 y = 4, 3 x - 5 y = 2$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $2 x - 3 y = 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 4 + 3 y$

$3 x - 5 y = 2$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4 + 3 y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4 + 3 y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2 + \frac{3 y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - 5 y = 2$ durch $2 + \frac{3 y}{2}$ .

$3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 2 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Multipliziere $3 \frac{3 y}{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3 y}{2}$ .

$6 + \frac{3 (3 y)}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Um $- 5 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Kombiniere $- 5 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $9 y - 5 y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $9 y$ heraus.

$6 + \frac{y \cdot 9 - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 5 y \cdot 2$ heraus.

$6 + \frac{y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)$ heraus.

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$6 + \frac{y (9 - 10)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $10$ von $9$ .

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$6 + \frac{- 1 \cdot y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3

Löse in $6 - \frac{y}{2} = 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{2} = 2 - 6$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.3.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) (\frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (- 1 \frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.3.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 2 + \frac{3 y}{2}$ durch $8$ .

$x = 2 + \frac{3 (8)}{2}$

$y = 8$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $2 + \frac{3 (8)}{2}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$x = 2 + \frac{24}{2}$

$y = 8$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $24$ durch $2$ .

$x = 2 + 12$

$y = 8$

Schritt 6.4.2.1.3

Addiere $2$ und $12$ .

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(14, 8)$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = \frac{2}{3}$

$m_{2} = \frac{3}{5}$

$(14, 8)$

Schritt 8