Finite Mathematik Beispiele

$2 x + 5 y = 10$ , $x - 3 y = 3$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = 10 - 2 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 10 - 2 x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 10 - 2 x$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Dividiere $10$ durch $5$ .

$y = 2 + \frac{- 2 x}{5}$

Schritt 1.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 - \frac{2 x}{5}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $2$ und $- \frac{2 x}{5}$ um.

$y = - \frac{2 x}{5} + 2$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 2$

Schritt 1.4.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{5} x + 2$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{2}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 3 - x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 3 - x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 3 - x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Dividiere $3$ durch $- 3$ .

$y = - 1 + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 1 + \frac{x}{3}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $- 1$ und $\frac{x}{3}$ um.

$y = \frac{x}{3} - 1$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{3} x - 1$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{1}{3}$ .

$m_{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$2 x + 5 y = 10, x - 3 y = 3$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 + 3 y$

$2 x + 5 y = 10$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 + 3 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + 5 y = 10$ durch $3 + 3 y$ .

$2 (3 + 3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $2 (3 + 3 y) + 5 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 3 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.2.2.1.2

Addiere $6 y$ und $5 y$ .

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.3

Löse in $6 + 11 y = 10$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$11 y = 10 - 6$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $6$ von $10$ .

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $11 y = 4$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 y = 4$ durch $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{4}{11}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 + 3 y$ durch $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + 3 (\frac{4}{11})$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $3 + 3 (\frac{4}{11})$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Multipliziere $3 (\frac{4}{11})$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + \frac{3 \cdot 4}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.4.2.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$x = 3 \cdot \frac{11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.4.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \cdot 11 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$x = \frac{33 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.4.2.1.5.2

Addiere $33$ und $12$ .

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

$m_{2} = \frac{1}{3}$

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Schritt 8