Finite Mathematik Beispiele

$3 x + 4 y = 2$ , $4 x + 3 y = 4$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = 2 - 3 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 2 - 3 x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 2 - 3 x$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (1)}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 1.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 1.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 1.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- \frac{3 x}{4}$ um.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{3}{4}$ .

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 4 - 4 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 - 4 x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 - 4 x$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{4}{3} - \frac{4 x}{3}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $\frac{4}{3}$ und $- \frac{4 x}{3}$ um.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{4}{3}$ .

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$3 x + 4 y = 2, 4 x + 3 y = 4$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $3 x + 4 y = 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2 - 4 y$

$4 x + 3 y = 4$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2 - 4 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2 - 4 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x + 3 y = 4$ durch $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{2}{3}) + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Multipliziere $4 (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Multipliziere $4 (- \frac{4 y}{3})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8}{3} - 4 \frac{4 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 (4 y)}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3

Kombiniere $3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 - 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{8 - 16 y + 9 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.7

Addiere $- 16 y$ und $9 y$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3

Löse in $\frac{8 - 7 y}{3} = 4$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Stelle $8$ und $- 7 y$ um.

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y = 12 - 8$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.3.1.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = 4$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = 4$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{4}{7}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ durch $- \frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 - 4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.2

Multipliziere $- 4 (- \frac{4}{7})$ .

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Schritt 6.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 + 4 (\frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2 + \frac{4 \cdot 4}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{2 \cdot \frac{7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{\frac{14 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.6.2

Addiere $14$ und $16$ .

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{30}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$x = \frac{3 (10)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 10}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.4.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Schritt 8