Finite Mathematik Beispiele

(- a + 1, b - 1)

$(- a + 1, b - 1)$ ,

$(a + 1, - b)$

Schritt 1

Ermittle die Steigung der Geraden zwischen

$(- a + 1, b - 1)$ und

$(a + 1, - b)$ unter Anwendung von

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , was die Änderung von

$y$ über der Änderung von

$x$ darstellt.

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Schritt 1.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von

$y$ dividiert durch die Änderung von

$x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 1.2

Die Änderung von

$x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von

$y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 1.3

Setze die Werte von

$x$ und

$y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{- b - (b - 1)}{a + 1 - (- a + 1)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- b - b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$m = \frac{- b - b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Schritt 1.4.1.3

Subtrahiere

$b$ von

$- b$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere

$- - a$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + 1 a - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere

$a$ mit

$1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1}$

Schritt 1.4.2.4

Addiere

$a$ und

$a$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a + 1 - 1}$

Schritt 1.4.2.5

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a + 0}$

Schritt 1.4.2.6

Addiere

$2 a$ und

$0$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 2 b$ heraus.

$m = \frac{- (2 b) + 1}{2 a}$

Schritt 1.4.3.2

Schreibe

$1$ als

$- 1 (- 1)$ um.

$m = \frac{- (2 b) - 1 \cdot - 1}{2 a}$

Schritt 1.4.3.3

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (2 b) - 1 (- 1)$ heraus.

$m = \frac{- (2 b - 1)}{2 a}$

Schritt 1.4.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.4.1

Schreibe

$- (2 b - 1)$ als

$- 1 (2 b - 1)$ um.

$m = \frac{- 1 (2 b - 1)}{2 a}$

Schritt 1.4.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m = - \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 2

Benutze die Steigung

$- \frac{2 b - 1}{2 a}$ und einen gegebenen Punkt

$(- a + 1, b - 1)$ , um

$x_{1}$ und

$y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (b - 1) = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x - (- a + 1))$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Schritt 4

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache

$- \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$y - b + 1 = 0 + 0 - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} x - \frac{2 b - 1}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Kombiniere

$x$ und

$\frac{2 b - 1}{2 a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$a$ .

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Schritt 4.1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{2 b - 1}{2 a}$ in den Zähler.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Schritt 4.1.4.2.2

Faktorisiere

$a$ aus

$2 a$ heraus.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{a \cdot 2} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Schritt 4.1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{a \cdot 2} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Schritt 4.1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Schritt 4.1.4.3

Multipliziere

$- \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.4.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} + 1 \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.4.3.2

Mutltipliziere

$\frac{2 b - 1}{2 a}$ mit

$1$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.6

$- \frac{2 b - 1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{a}{a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2} \cdot \frac{a}{a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere

$\frac{2 b - 1}{2}$ mit

$\frac{a}{a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{(2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y - b + 1 = \frac{- x (2 b - 1) - (2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere

$2 b - 1$ aus

$- x (2 b - 1) - (2 b - 1) a$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1.1

Faktorisiere

$2 b - 1$ aus

$- x (2 b - 1)$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x) - (2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.8.1.2

Faktorisiere

$2 b - 1$ aus

$- (2 b - 1) a$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x) + (2 b - 1) (- 1 a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.8.1.3

Faktorisiere

$2 b - 1$ aus

$(2 b - 1) (- x) + (2 b - 1) (- 1 a)$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - 1 a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.8.2

Schreibe

$- 1 a$ als

$- a$ um.

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.10.1

Multipliziere

$(2 b - 1) (- x - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.10.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x - a) - 1 (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x) + 2 b (- a) - 1 (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x) + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.10.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - b + 1 = \frac{2 \cdot - 1 b x + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x + 2 \cdot - 1 b a - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2.5

Multipliziere

$- 1 (- x)$ .

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Schritt 4.1.10.2.5.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + 1 x - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2.5.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2.6

Multipliziere

$- 1 (- a)$ .

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Schritt 4.1.10.2.6.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x + 1 a + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.10.2.6.2

Mutltipliziere

$a$ mit

$1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.11.1

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 2 b x$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x) - 2 b a + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.2

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 2 b a$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x) - (2 b a) + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.3

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (2 b x) - (2 b a)$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a) + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.4

Faktorisiere

$- 1$ aus

$x$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a) - 1 (- x) + a + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.5

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (2 b x + 2 b a) - 1 (- x)$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x) + a + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.6

Faktorisiere

$- 1$ aus

$a$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.7

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (2 b x + 2 b a - x) - 1 (- a)$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.8

Faktorisiere

$- 1$ aus

$2 b$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a) - (- 2 b) - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.9

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (2 b x + 2 b a - x - a) - (- 2 b)$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1}{2 a}$

Schritt 4.1.11.10

Schreibe

$- 1$ als

$- 1 (1)$ um.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1 (1)}{2 a}$

Schritt 4.1.11.11

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1 (1)$ heraus.

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)}{2 a}$

Schritt 4.1.11.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.11.12.1

Schreibe

$- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)$ als

$- 1 (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)$ um.

$y - b + 1 = \frac{- 1 (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)}{2 a}$

Schritt 4.1.11.12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - b + 1 = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a}$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere

$b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 1 = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a} + b$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a} + b - 1$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Zerlege den Bruch

$\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.2.1

Zerlege den Bruch

$\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b}{2 a}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{2 b x + 2 b a - x - a}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.2.2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.3.2.2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = - (\frac{(2 b x + 2 b a) - x - a}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = - (\frac{2 b (x + a) - (x + a)}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

$x + a$ .

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 2$ und

$2$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2 b$ heraus.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 a$ heraus.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 (a)} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- b}{a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} - \frac{b}{a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Schritt 4.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} - - \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Schritt 4.2.3.4

Multipliziere

$- - \frac{b}{a}$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + 1 \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Schritt 4.2.3.4.2

Mutltipliziere

$\frac{b}{a}$ mit

$1$ .

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Schritt 5

Notiere die Gleichung in verschiedenen Formen.

Normalform:

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Punkt-Steigungs-Form:

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Schritt 6