Finite Mathematik Beispiele

$f (n) = 2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4$ , $h (t) = \frac{t + 4}{t - 2}$ , $((h \circ f)) (0)$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h (f (n))$

Schritt 2

Berechne $h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $h$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4$ und $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 - 2}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) - 2}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) - 2}$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)}$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)$ heraus.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

Schritt 3.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

Schritt 3.6.7

Forme den Ausdruck um.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Schritt 4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Schritt 4.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4 \cdot \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Schritt 4.5

Kombiniere $4$ und $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

Schritt 5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 1}$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1 + 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{n - 1}$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = (1 + 4 \cdot 3^{n - 1}) (\frac{1}{1 + 3^{n - 1}})$

Schritt 8

Mutltipliziere $1 + 4 \cdot 3^{n - 1}$ mit $\frac{1}{1 + 3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Schritt 9

Berechne die Ergebnisfunktion durch Ersetzen von $n$ durch $0$ in der Funktion.

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{(0) - 1}}{1 + 3^{(0) - 1}}$

Schritt 10

Vereinfache die berechnete Funktion.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{- 1}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Schritt 10.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot \frac{1}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Schritt 10.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Schritt 10.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 + 4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Schritt 10.1.6

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{- 1}}$

Schritt 10.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$

Schritt 10.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 10.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}$

Schritt 10.2.5

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$7 (\frac{1}{4})$

Schritt 10.5

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{4}$

Dezimalform:

$1.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{3}{4}$