Finite Mathematik Beispiele

$2 x + 9 y - 5 z = 0$ , $7 x - 4 y + 6 z = 1$ , $9 x + 5 y + z = 1$

Schritt 1

Schreibe das System als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 9 & - 5 & 0 \\ 7 & - 4 & 6 & 1 \\ 9 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{9}{2} & \frac{- 5}{2} & \frac{0}{2} \\ 7 & - 4 & 6 & 1 \\ 9 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 7 & - 4 & 6 & 1 \\ 9 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (\frac{9}{2}) & 6 - 7 (- \frac{5}{2}) & 1 - 7 \cdot 0 \\ 9 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{71}{2} & \frac{47}{2} & 1 \\ 9 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{71}{2} & \frac{47}{2} & 1 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 5 - 9 (\frac{9}{2}) & 1 - 9 (- \frac{5}{2}) & 1 - 9 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{71}{2} & \frac{47}{2} & 1 \\ 0 & - \frac{71}{2} & \frac{47}{2} & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{2}{71}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{2}{71}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ - \frac{2}{71} \cdot 0 & - \frac{2}{71} (- \frac{71}{2}) & - \frac{2}{71} \cdot \frac{47}{2} & - \frac{2}{71} \cdot 1 \\ 0 & - \frac{71}{2} & \frac{47}{2} & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{47}{71} & - \frac{2}{71} \\ 0 & - \frac{71}{2} & \frac{47}{2} & 1 \end{array}]$

Schritt 2.5

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + \frac{71}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + \frac{71}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{47}{71} & - \frac{2}{71} \\ 0 + \frac{71}{2} \cdot 0 & - \frac{71}{2} + \frac{71}{2} \cdot 1 & \frac{47}{2} + \frac{71}{2} (- \frac{47}{71}) & 1 + \frac{71}{2} (- \frac{2}{71}) \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{47}{71} & - \frac{2}{71} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{9}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{9}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & - \frac{5}{2} - \frac{9}{2} (- \frac{47}{71}) & 0 - \frac{9}{2} (- \frac{2}{71}) \\ 0 & 1 & - \frac{47}{71} & - \frac{2}{71} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{34}{71} & \frac{9}{71} \\ 0 & 1 & - \frac{47}{71} & - \frac{2}{71} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{34}{71} z = \frac{9}{71}$

$y - \frac{47}{71} z = - \frac{2}{71}$

$0 = 0$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{9}{71} - \frac{34 z}{71}, - \frac{2}{71} + \frac{47 z}{71}, z)$