Finite Mathematik Beispiele

$(x - y) - (6 x + 8 y) = - (10 x + 5 y + 3)$ , $(x + y) - (9 y - 11 x) = 2 y - 2 x$

Schritt 1

Löse in $- 5 x - 9 y = - 10 x - 5 y - 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $10 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x - 9 y + 10 x = - 5 y - 3$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 1.1.2

Addiere $- 5 x$ und $10 x$ .

$5 x - 9 y = - 5 y - 3$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

$5 x - 9 y = - 5 y - 3$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $9 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 5 y - 3 + 9 y$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 1.2.2

Addiere $- 5 y$ und $9 y$ .

$5 x = 4 y - 3$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

$5 x = 4 y - 3$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4 y - 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4 y - 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4 y}{5} + \frac{- 3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4 y}{5} + \frac{- 3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4 y}{5} + \frac{- 3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

$x = \frac{4 y}{5} + \frac{- 3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

$x = \frac{4 y}{5} + \frac{- 3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$12 x - 8 y = 2 y - 2 x$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $12 x - 8 y = 2 y - 2 x$ durch $\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$ .

$12 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}) - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache $12 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}) - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $12 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}) - 8 y$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (\frac{4 y}{5}) + 12 (- \frac{3}{5}) - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Multipliziere $12 \frac{4 y}{5}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.2.1

Kombiniere $12$ und $\frac{4 y}{5}$ .

$\frac{12 (4 y)}{5} + 12 (- \frac{3}{5}) - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$\frac{48 y}{5} + 12 (- \frac{3}{5}) - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{48 y}{5} + 12 (- \frac{3}{5}) - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Multipliziere $12 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{48 y}{5} - 12 (\frac{3}{5}) - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.1.3.2

Kombiniere $- 12$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{48 y}{5} + \frac{- 12 \cdot 3}{5} - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$\frac{48 y}{5} + \frac{- 36}{5} - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{48 y}{5} + \frac{- 36}{5} - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{48 y}{5} - \frac{36}{5} - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{48 y}{5} - \frac{36}{5} - 8 y = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Um $- 8 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{48 y}{5} - 8 y \cdot \frac{5}{5} - \frac{36}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kombiniere $- 8 y$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{48 y}{5} + \frac{- 8 y \cdot 5}{5} - \frac{36}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{48 y - 8 y \cdot 5}{5} - \frac{36}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{48 y - 8 y \cdot 5 - 36}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 8$ .

$\frac{48 y - 40 y - 36}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.7

Subtrahiere $40 y$ von $48 y$ .

$\frac{8 y - 36}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.8

Faktorisiere $4$ aus $8 y - 36$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{4 (2 y) - 36}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.8.2

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{4 (2 y) + 4 (- 9)}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.1.1.8.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 y) + 4 (- 9)$ heraus.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $2 y - 2 (\frac{4 y}{5} - \frac{3}{5})$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y - 2 \frac{4 y}{5} - 2 (- \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Multipliziere $- 2 \frac{4 y}{5}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 y}{5}$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y + \frac{- 2 (4 y)}{5} - 2 (- \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y + \frac{- 8 y}{5} - 2 (- \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y + \frac{- 8 y}{5} - 2 (- \frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 2 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y + \frac{- 8 y}{5} + 2 (\frac{3}{5})$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.1.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y + \frac{- 8 y}{5} + \frac{2 \cdot 3}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y + \frac{- 8 y}{5} + \frac{6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y + \frac{- 8 y}{5} + \frac{6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y - \frac{8 y}{5} + \frac{6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y - \frac{8 y}{5} + \frac{6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.2

Um $2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = 2 y \cdot \frac{5}{5} - \frac{8 y}{5} + \frac{6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.3

Kombiniere $2 y$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 y \cdot 5}{5} - \frac{8 y}{5} + \frac{6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 y \cdot 5 - 8 y}{5} + \frac{6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 y \cdot 5 - 8 y + 6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{10 y - 8 y + 6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.7

Subtrahiere $8 y$ von $10 y$ .

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 y + 6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.8

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 6$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y) + 6}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 y + 2 \cdot 3}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.2.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y + 3)}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y + 3)}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y + 3)}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y + 3)}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y + 3)}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y + 3)}{5}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3

Löse in $\frac{4 (2 y - 9)}{5} = \frac{2 (y + 3)}{5}$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$4 (2 y - 9) = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache $4 (2 y - 9)$ .

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Schritt 3.2.1

Forme um.

$0 + 0 + 4 (2 y - 9) = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$4 (2 y - 9) = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (2 y) + 4 \cdot - 9 = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 y + 4 \cdot - 9 = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$8 y - 36 = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$8 y - 36 = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$8 y - 36 = 2 (y + 3)$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache $2 (y + 3)$ .

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 y - 36 = 2 y + 2 \cdot 3$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 y - 36 = 2 y + 6$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$8 y - 36 = 2 y + 6$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y - 36 - 2 y = 6$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2 y$ von $8 y$ .

$6 y - 36 = 6$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$6 y - 36 = 6$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = 6 + 36$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ und $36$ .

$6 y = 42$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$6 y = 42$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $6 y = 42$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = 42$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{42}{6}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{42}{6}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{42}{6}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$y = \frac{42}{6}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$y = \frac{42}{6}$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Dividiere $42$ durch $6$ .

$y = 7$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$y = 7$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$y = 7$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

$y = 7$

$x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{4 y}{5} - \frac{3}{5}$ durch $7$ .

$x = \frac{4 (7)}{5} - \frac{3}{5}$

$y = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{4 (7)}{5} - \frac{3}{5}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 (7) - 3}{5}$

$y = 7$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x = \frac{28 - 3}{5}$

$y = 7$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $28$ .

$x = \frac{25}{5}$

$y = 7$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $25$ durch $5$ .

$x = 5$

$y = 7$

$x = 5$

$y = 7$

$x = 5$

$y = 7$

$x = 5$

$y = 7$

$x = 5$

$y = 7$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(5, 7)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(5, 7)$

Gleichungsform:

$x = 5, y = 7$

Schritt 7