Finite Mathematik Beispiele

$x + y - z = 1$ , $x + 3 z = - 5$ , $3 y - z = 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - z = 1 - y$

$x + 3 z = - 5$

$3 y - z = 5$

Schritt 1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 - y + z$

$x + 3 z = - 5$

$3 y - z = 5$

$x = 1 - y + z$

$x + 3 z = - 5$

$3 y - z = 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1 - y + z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x + 3 z = - 5$ durch $1 - y + z$ .

$(1 - y + z) + 3 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Addiere $z$ und $3 z$ .

$1 - y + 4 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$1 - y + 4 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$1 - y + 4 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3

Löse in $1 - y + 4 z = - 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y + 4 z = - 5 - 1$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 5 - 1 - 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 5$ .

$- y = - 6 - 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$- y = - 6 - 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 6 - 4 z$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 6 - 4 z$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$y = 6 + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 4 z}{- 1}$ .

$y = 6 - 1 \cdot (- 4 z)$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (- 4 z)$ als $- (- 4 z)$ um.

$y = 6 - (- 4 z)$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6 + 4 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 1 - y + z$ durch $6 + 4 z$ .

$x = 1 - (6 + 4 z) + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $1 - (6 + 4 z) + z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 - 1 \cdot 6 - (4 z) + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$x = 1 - 6 - (4 z) + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = 1 - 6 - 4 z + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = 1 - 6 - 4 z + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$x = - 5 - 4 z + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 4 z$ und $z$ .

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $3 y - z = 5$ durch $6 + 4 z$ .

$3 (6 + 4 z) - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $3 (6 + 4 z) - z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 6 + 3 (4 z) - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 + 3 (4 z) - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$18 + 12 z - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 12 z - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 4.4.1.2

Subtrahiere $z$ von $12 z$ .

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 5

Löse in $18 + 11 z = 5$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$11 z = 5 - 18$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $18$ von $5$ .

$11 z = - 13$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$11 z = - 13$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $11 z = - 13$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 z = - 13$ durch $11$ .

$\frac{11 z}{11} = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 z}{11} = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $- \frac{13}{11}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $x = - 5 - 3 z$ durch $- \frac{13}{11}$ .

$x = - 5 - 3 (- \frac{13}{11})$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 5 - 3 (- \frac{13}{11})$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $- 3 (- \frac{13}{11})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$x = - 5 + 3 (\frac{13}{11})$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{13}{11}$ .

$x = - 5 + \frac{3 \cdot 13}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $13$ .

$x = - 5 + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = - 5 + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$x = - 5 \cdot \frac{11}{11} + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 11}{11} + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 5 \cdot 11 + 39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $11$ .

$x = \frac{- 55 + 39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.5.2

Addiere $- 55$ und $39$ .

$x = \frac{- 16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = \frac{- 16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Schritt 6.3

Ersetze alle $z$ in $y = 6 + 4 z$ durch $- \frac{13}{11}$ .

$y = 6 + 4 (- \frac{13}{11})$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $6 + 4 (- \frac{13}{11})$ .

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1.1

Multipliziere $4 (- \frac{13}{11})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = 6 - 4 (\frac{13}{11})$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.1.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{13}{11}$ .

$y = 6 + \frac{- 4 \cdot 13}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$y = 6 + \frac{- 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + \frac{- 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 6 - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$y = 6 \cdot \frac{11}{11} - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{6 \cdot 11}{11} - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{6 \cdot 11 - 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $11$ .

$y = \frac{66 - 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 6.4.1.5.2

Subtrahiere $52$ von $66$ .

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{16}{11}, \frac{14}{11}, - \frac{13}{11})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{16}{11}, \frac{14}{11}, - \frac{13}{11})$

Gleichungsform:

$x = - \frac{16}{11}, y = \frac{14}{11}, z = - \frac{13}{11}$