Finite Mathematik Beispiele

$x + y - 3 z = - 13$ , $3 x - 3 + 4 z = 6$ , $x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 z = - 13 - y$

$3 x - 3 + 4 z = 6$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 1.2

Addiere $3 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 13 - y + 3 z$

$3 x - 3 + 4 z = 6$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$x = - 13 - y + 3 z$

$3 x - 3 + 4 z = 6$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 13 - y + 3 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - 3 + 4 z = 6$ durch $- 13 - y + 3 z$ .

$3 (- 13 - y + 3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (- 13 - y + 3 z) - 3 + 4 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot - 13 + 3 (- y) + 3 (3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 13$ .

$- 39 + 3 (- y) + 3 (3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 39 - 3 y + 3 (3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 39 - 3 y + 9 z - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 39 - 3 y + 9 z - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 39 - 3 y + 9 z - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $3$ von $- 39$ .

$- 3 y + 9 z - 42 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $9 z$ und $4 z$ .

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $x + 3 y - 2 z = - 12$ durch $- 13 - y + 3 z$ .

$(- 13 - y + 3 z) + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $(- 13 - y + 3 z) + 3 y - 2 z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Addiere $- y$ und $3 y$ .

$- 13 + 2 y + 3 z - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 2.4.1.2

Subtrahiere $2 z$ von $3 z$ .

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + z = - 12 + 13$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 12 + 13 - 2 y$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 3.3

Addiere $- 12$ und $13$ .

$z = 1 - 2 y$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$z = 1 - 2 y$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $1 - 2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $z$ in $- 3 y + 13 z - 42 = 6$ durch $1 - 2 y$ .

$- 3 y + 13 (1 - 2 y) - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 3 y + 13 (1 - 2 y) - 42$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y + 13 \cdot 1 + 13 (- 2 y) - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$- 3 y + 13 + 13 (- 2 y) - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $13$ .

$- 3 y + 13 - 26 y - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 3 y + 13 - 26 y - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $26 y$ von $- 3 y$ .

$- 29 y + 13 - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $42$ von $13$ .

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $z$ in $x = - 13 - y + 3 z$ durch $1 - 2 y$ .

$x = - 13 - y + 3 (1 - 2 y)$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $- 13 - y + 3 (1 - 2 y)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 13 - y + 3 \cdot 1 + 3 (- 2 y)$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x = - 13 - y + 3 + 3 (- 2 y)$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x = - 13 - y + 3 - 6 y$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 - 6 y$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Addiere $- 13$ und $3$ .

$x = - y - 10 - 6 y$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 4.4.1.2.2

Subtrahiere $6 y$ von $- y$ .

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 5

Löse in $- 29 y - 29 = 6$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $29$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 29 y = 6 + 29$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 5.1.2

Addiere $6$ und $29$ .

$- 29 y = 35$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$- 29 y = 35$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 29 y = 35$ durch $- 29$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 29 y = 35$ durch $- 29$ .

$\frac{- 29 y}{- 29} = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 29$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 29 y}{- 29} = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{35}{29}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 7 y - 10$ durch $- \frac{35}{29}$ .

$x = - 7 (- \frac{35}{29}) - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 7 (- \frac{35}{29}) - 10$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $- 7 (- \frac{35}{29})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$x = 7 (\frac{35}{29}) - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.1.2

Kombiniere $7$ und $\frac{35}{29}$ .

$x = \frac{7 \cdot 35}{29} - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $35$ .

$x = \frac{245}{29} - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = \frac{245}{29} - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.2

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{29}{29}$ .

$x = \frac{245}{29} - 10 \cdot \frac{29}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $- 10$ und $\frac{29}{29}$ .

$x = \frac{245}{29} + \frac{- 10 \cdot 29}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{245 - 10 \cdot 29}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $29$ .

$x = \frac{245 - 290}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.5.2

Subtrahiere $290$ von $245$ .

$x = \frac{- 45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = \frac{- 45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Schritt 6.3

Ersetze alle $y$ in $z = 1 - 2 y$ durch $- \frac{35}{29}$ .

$z = 1 - 2 (- \frac{35}{29})$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $1 - 2 (- \frac{35}{29})$ .

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Schritt 6.4.1.1

Multipliziere $- 2 (- \frac{35}{29})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$z = 1 + 2 (\frac{35}{29})$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Schritt 6.4.1.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{35}{29}$ .

$z = 1 + \frac{2 \cdot 35}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Schritt 6.4.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $35$ .

$z = 1 + \frac{70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 + \frac{70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Schritt 6.4.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$z = \frac{29}{29} + \frac{70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Schritt 6.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z = \frac{29 + 70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Schritt 6.4.1.4

Addiere $29$ und $70$ .

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{45}{29}, - \frac{35}{29}, \frac{99}{29})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{45}{29}, - \frac{35}{29}, \frac{99}{29})$

Gleichungsform:

$x = - \frac{45}{29}, y = - \frac{35}{29}, z = \frac{99}{29}$