Finite Mathematik Beispiele

$x + y + z = 4$ , $x - y + 5 z = - 14$ , $5 x + y + z = 20$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + z = 4 - y$

$x - y + 5 z = - 14$

$5 x + y + z = 20$

Schritt 1.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 - y - z$

$x - y + 5 z = - 14$

$5 x + y + z = 20$

$x = 4 - y - z$

$x - y + 5 z = - 14$

$5 x + y + z = 20$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4 - y - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x - y + 5 z = - 14$ durch $4 - y - z$ .

$(4 - y - z) - y + 5 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$5 x + y + z = 20$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(4 - y - z) - y + 5 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$4 - 2 y - z + 5 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$5 x + y + z = 20$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $- z$ und $5 z$ .

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$5 x + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$5 x + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$5 x + y + z = 20$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $5 x + y + z = 20$ durch $4 - y - z$ .

$5 (4 - y - z) + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $5 (4 - y - z) + y + z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 4 + 5 (- y) + 5 (- z) + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 + 5 (- y) + 5 (- z) + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$20 - 5 y + 5 (- z) + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$20 - 5 y - 5 z + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$20 - 5 y - 5 z + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$20 - 5 y - 5 z + y + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Addiere $- 5 y$ und $y$ .

$20 - 4 y - 5 z + z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 2.4.1.2.2

Addiere $- 5 z$ und $z$ .

$20 - 4 y - 4 z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$20 - 4 y - 4 z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$20 - 4 y - 4 z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$20 - 4 y - 4 z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$20 - 4 y - 4 z = 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3

Löse in $20 - 4 y - 4 z = 20$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y - 4 z = 20 - 20$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.1.2

Addiere $4 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = 20 - 20 + 4 z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$- 4 y = 0 + 4 z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.1.4

Addiere $0$ und $4 z$ .

$- 4 y = 4 z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$- 4 y = 4 z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 4 z$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 4 z$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{4 z}{- 4}$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{4 z}{- 4}$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 z}{- 4}$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$y = \frac{4 z}{- 4}$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$y = \frac{4 z}{- 4}$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 z$ heraus.

$y = \frac{4 (z)}{- 4}$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{z}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$y = - 1 \cdot z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot z$ als $- z$ um.

$y = - z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$y = - z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$y = - z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

$y = - z$

$4 - 2 y + 4 z = - 14$

$x = 4 - y - z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $4 - 2 y + 4 z = - 14$ durch $- z$ .

$4 - 2 (- z) + 4 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4 - y - z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 - 2 (- z) + 4 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$4 + 2 z + 4 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4 - y - z$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $2 z$ und $4 z$ .

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4 - y - z$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4 - y - z$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4 - y - z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = 4 - y - z$ durch $- z$ .

$x = 4 - (- z) - z$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $4 - (- z) - z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Multipliziere $- (- z)$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 4 + 1 z - z$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$x = 4 + z - z$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4 + z - z$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

Schritt 4.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 + z - z$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Subtrahiere $z$ von $z$ .

$x = 4 + 0$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

Schritt 4.4.1.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$x = 4$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

$x = 4$

$4 + 6 z = - 14$

$y = - z$

Schritt 5

Löse in $4 + 6 z = - 14$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 z = - 14 - 4$

$x = 4$

$y = - z$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $4$ von $- 14$ .

$6 z = - 18$

$x = 4$

$y = - z$

$6 z = - 18$

$x = 4$

$y = - z$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $6 z = - 18$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 z = - 18$ durch $6$ .

$\frac{6 z}{6} = \frac{- 18}{6}$

$x = 4$

$y = - z$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 z}{6} = \frac{- 18}{6}$

$x = 4$

$y = - z$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 18}{6}$

$x = 4$

$y = - z$

$z = \frac{- 18}{6}$

$x = 4$

$y = - z$

$z = \frac{- 18}{6}$

$x = 4$

$y = - z$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 18$ durch $6$ .

$z = - 3$

$x = 4$

$y = - z$

$z = - 3$

$x = 4$

$y = - z$

$z = - 3$

$x = 4$

$y = - z$

$z = - 3$

$x = 4$

$y = - z$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $y = - z$ durch $- 3$ .

$y = - (- 3)$

$z = - 3$

$x = 4$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = 3$

$z = - 3$

$x = 4$

$y = 3$

$z = - 3$

$x = 4$

$y = 3$

$z = - 3$

$x = 4$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 3, - 3)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, 3, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = 3, z = - 3$