Finite Mathematik Beispiele

$x + y + z = - 12$ , $x - 2 y - z = 9$ , $2 x + 2 y - z = - 21$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + z = - 12 - y$

$x - 2 y - z = 9$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Schritt 1.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12 - y - z$

$x - 2 y - z = 9$

$2 x + 2 y - z = - 21$

$x = - 12 - y - z$

$x - 2 y - z = 9$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 12 - y - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x - 2 y - z = 9$ durch $- 12 - y - z$ .

$(- 12 - y - z) - 2 y - z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(- 12 - y - z) - 2 y - z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $2 y$ von $- y$ .

$- 12 - 3 y - z - z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $z$ von $- z$ .

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $2 x + 2 y - z = - 21$ durch $- 12 - y - z$ .

$2 (- 12 - y - z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $2 (- 12 - y - z) + 2 y - z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot - 12 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$- 24 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 24 - 2 y + 2 (- z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z$ .

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Schritt 2.4.1.2.1.1

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$- 24 - 2 z + 0 - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 2.4.1.2.1.2

Addiere $- 24 - 2 z$ und $0$ .

$- 24 - 2 z - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 2 z - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 2.4.1.2.2

Subtrahiere $z$ von $- 2 z$ .

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 3

Löse in $- 24 - 3 z = - 21$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 z = - 21 + 24$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 3.1.2

Addiere $- 21$ und $24$ .

$- 3 z = 3$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 3 z = 3$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = 3$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = 3$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $3$ durch $- 3$ .

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $z$ in $- 12 - 3 y - 2 z = 9$ durch $- 1$ .

$- 12 - 3 y - 2 \cdot - 1 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 12 - 3 y - 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 12 - 3 y + 2 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 12$ und $2$ .

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $z$ in $x = - 12 - y - z$ durch $- 1$ .

$x = - 12 - y - (- 1)$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $- 12 - y - (- 1)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - 12 - y + 1$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $- 12$ und $1$ .

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

Schritt 5

Löse in $- 3 y - 10 = 9$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 9 + 10$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Schritt 5.1.2

Addiere $9$ und $10$ .

$- 3 y = 19$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$- 3 y = 19$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 19$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 19$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{19}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = - y - 11$ durch $- \frac{19}{3}$ .

$x = - (- \frac{19}{3}) - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- (- \frac{19}{3}) - 11$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $- (- \frac{19}{3})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{19}{3}) - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{19}{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{19}{3} - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = \frac{19}{3} - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2.1.2

Um $- 11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{19}{3} - 11 \cdot \frac{3}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $- 11$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{19}{3} + \frac{- 11 \cdot 3}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{19 - 11 \cdot 3}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $3$ .

$x = \frac{19 - 33}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2.1.5.2

Subtrahiere $33$ von $19$ .

$x = \frac{- 14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = \frac{- 14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{14}{3}, - \frac{19}{3}, - 1)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{14}{3}, - \frac{19}{3}, - 1)$

Gleichungsform:

$x = - \frac{14}{3}, y = - \frac{19}{3}, z = - 1$