Finite Mathematik Beispiele

$p = q^{2} + 8 q + 16$ , $p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Schritt 2

Löse $q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$ nach $q$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $q$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $3 q^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} = 6 q + 436$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $6 q$ von beiden Seiten der Gleichung.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} - 6 q = 436$

Schritt 2.1.3

Addiere $q^{2}$ und $3 q^{2}$ .

$4 q^{2} + 8 q + 16 - 6 q = 436$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $6 q$ von $8 q$ .

$4 q^{2} + 2 q + 16 = 436$

Schritt 2.2

Subtrahiere $436$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 q^{2} + 2 q + 16 - 436 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $436$ von $16$ .

$4 q^{2} + 2 q - 420 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 q^{2} + 2 q - 420$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 q^{2}$ heraus.

$2 (2 q^{2}) + 2 q - 420 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 q$ heraus.

$2 (2 q^{2}) + 2 (q) - 420 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 420$ heraus.

$2 (2 q^{2}) + 2 q + 2 \cdot - 210 = 0$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 q^{2}) + 2 q$ heraus.

$2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210 = 0$

Schritt 2.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210$ heraus.

$2 (2 q^{2} + q - 210) = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 210 = - 420$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 (2 q^{2} + 1 q - 210) = 0$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 20$ plus $21$

$2 (2 q^{2} + (- 20 + 21) q - 210) = 0$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 q^{2} - 20 q + 21 q - 210) = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((2 q^{2} - 20 q) + 21 q - 210) = 0$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (2 q (q - 10) + 21 (q - 10)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $q - 10$ .

$2 ((q - 10) (2 q + 21)) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$q - 10 = 0$

$2 q + 21 = 0 + p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Schritt 2.6

Setze $q - 10$ gleich $0$ und löse nach $q$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $q - 10$ gleich $0$ .

$q - 10 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$q = 10$

Schritt 2.7

Setze $2 q + 21$ gleich $0$ und löse nach $q$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $2 q + 21$ gleich $0$ .

$2 q + 21 = 0$

Schritt 2.7.2

Löse $2 q + 21 = 0$ nach $q$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 q = - 21$

Schritt 2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 q = - 21$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 q = - 21$ durch $2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Schritt 2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Schritt 2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $q$ durch $1$ .

$q = \frac{- 21}{2}$

Schritt 2.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$q = - \frac{21}{2}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$ wahr machen.

$q = 10, - \frac{21}{2}$

Schritt 3

Berechne $p$ bei $q = 10$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $q$ durch $10$ .

$p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$

Schritt 3.2

Setze $10$ für $q$ in $p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$ ein, löse dann nach $p$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $- 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$ .

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $10$ mit $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10^{1} + 436$

Schritt 3.2.2.2

Move the decimal point in $6$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2} + 436$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $10^{2}$ aus $- 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2}$ heraus.

$p = (- 3 + 0.6) \cdot 10^{2} + 436$

Schritt 3.2.2.4

Addiere $- 3$ und $0.6$ .

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 436$

Schritt 3.2.2.5

Convert $436$ to scientific notation.

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$

Schritt 3.2.2.6

Faktorisiere $10^{2}$ aus $- 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$ heraus.

$p = (- 2.4 + 4.36) \cdot 10^{2}$

Schritt 3.2.2.7

Addiere $- 2.4$ und $4.36$ .

$p = 1.96 \cdot 10^{2}$

Schritt 4

Berechne $p$ bei $q = - \frac{21}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $q$ durch $- \frac{21}{2}$ .

$p = - 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{21}{2}$ an.

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{21}{2}$ an.

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$p = - 3 (1 \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$p = - 3 \frac{21^{2}}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $21$ mit $2$ .

$p = - 3 \frac{441}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$p = - 3 (\frac{441}{4}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.6

Multipliziere $- 3 (\frac{441}{4})$ .

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Schritt 4.2.1.6.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{441}{4}$ .

$p = \frac{- 3 \cdot 441}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $441$ .

$p = \frac{- 1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{21}{2}$ in den Zähler.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (\frac{- 21}{2}) + 436$

Schritt 4.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$p = - \frac{1323}{4} + 2 (3) \frac{- 21}{2} + 436$

Schritt 4.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p = - \frac{1323}{4} + 2 \cdot 3 \frac{- 21}{2} + 436$

Schritt 4.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$p = - \frac{1323}{4} + 3 \cdot - 21 + 436$

Schritt 4.2.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 21$ .

$p = - \frac{1323}{4} - 63 + 436$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $- 63$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} + 436$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 63}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} \cdot \frac{4}{4} + 436$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 63}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + 436$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe $436$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{436}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{436}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p = \frac{- 1323 - 63 \cdot 4 + 436 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 63$ mit $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 436 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $436$ mit $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 1744}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $252$ von $- 1323$ .

$p = \frac{- 1575 + 1744}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 1575$ und $1744$ .

$p = \frac{169}{4}$

Schritt 5

Die Lösung des Gleichungssystems sind alle Werte, die das System erfüllen.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10 p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10$

$p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$