Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 8$ , $\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1

Löse in $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 8$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{y}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = 8 - \frac{y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache $2 (8 - \frac{y}{3})$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 \cdot 8 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = 16 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.3.2.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{y}{3})$ .

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Schritt 1.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 16 - 2 \frac{y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.3.2.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y}{3}$ .

$x = 16 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 1.4

Stelle $16$ und $- \frac{2 y}{3}$ um.

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{2 y}{3} + 16$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$ durch $- \frac{2 y}{3} + 16$ .

$\frac{2 (- \frac{2 y}{3} + 16)}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{2 (- \frac{2 y}{3} + 16)}{3} + \frac{3 y}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2 y}{3} + 16$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2 y}{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 (- \frac{y}{3}) + 16)}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 (2 (- \frac{y}{3}) + 2 (8))}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{y}{3}) + 2 (8)$ heraus.

$\frac{2 (2 (- \frac{y}{3} + 8))}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{2 \cdot (2 (- \frac{y}{3} + 8))}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (- \frac{y}{3} + 8)}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (- \frac{y}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.1.4

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (- \frac{y}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (\frac{- y + 8 \cdot 3}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{4 (\frac{- y + 24}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (\frac{- y + 24}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{- y + 24}{3}$ .

$\frac{\frac{4 (- y + 24)}{3}}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 (- y + 24)}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.4

Multipliziere $\frac{4 (- y + 24)}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 (- y + 24)}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{3 \cdot 3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{9} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (- y + 24)}{9} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (- y + 24)}{9} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.2

Um $\frac{4 (- y + 24)}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.3

Um $\frac{3 y}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 y}{2} \cdot \frac{9}{9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 (- y + 24)}{9}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{3 y}{2} \cdot \frac{9}{9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y}{2} \cdot \frac{9}{9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{3 y}{2}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y \cdot 9}{2 \cdot 9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 (- y) + 4 \cdot 24) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{(- 4 y + 4 \cdot 24) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6.3

Mutltipliziere $4$ mit $24$ .

$\frac{(- 4 y + 96) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 y \cdot 2 + 96 \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{- 8 y + 96 \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6.6

Mutltipliziere $96$ mit $2$ .

$\frac{- 8 y + 192 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6.7

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{- 8 y + 192 + 27 y}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 2.2.1.6.8

Addiere $- 8 y$ und $27 y$ .

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3

Löse in $\frac{19 y + 192}{18} = 17$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $18$ .

$\frac{19 y + 192}{18} \cdot 18 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{19 y + 192}{18} \cdot 18 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$19 y + 192 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $17$ mit $18$ .

$19 y + 192 = 306$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 306$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 306$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $192$ von beiden Seiten der Gleichung.

$19 y = 306 - 192$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $192$ von $306$ .

$19 y = 114$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y = 114$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $19 y = 114$ durch $19$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $19 y = 114$ durch $19$ .

$\frac{19 y}{19} = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{19 y}{19} = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $114$ durch $19$ .

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{2 y}{3} + 16$ durch $6$ .

$x = - \frac{2 (6)}{3} + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{2 (6)}{3} + 16$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 (6)$ heraus.

$x = - \frac{3 (2 \cdot (2))}{3} + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x = - \frac{3 (2 \cdot (2))}{3 (1)} + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{3 (2 \cdot (2))}{3 \cdot 1} + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{2 \cdot (2)}{1} + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.1.1.2.4

Dividiere $2 \cdot (2)$ durch $1$ .

$x = - (2 \cdot (2)) + 16$

$y = 6$

$x = - (2 \cdot (2)) + 16$

$y = 6$

$x = - (2 \cdot (2)) + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.1.2

Multipliziere $- (2 \cdot (2))$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = - 1 \cdot 4 + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = - 4 + 16$

$y = 6$

$x = - 4 + 16$

$y = 6$

$x = - 4 + 16$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 4$ und $16$ .

$x = 12$

$y = 6$

$x = 12$

$y = 6$

$x = 12$

$y = 6$

$x = 12$

$y = 6$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(12, 6)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(12, 6)$

Gleichungsform:

$x = 12, y = 6$

Schritt 7