Finite Mathematik Beispiele

$3 x - 2 y = 5$ , $4 x + 3 y = - 2$

Schritt 1

Löse in $3 x - 2 y = 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5 + 2 y$

$4 x + 3 y = - 2$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5 + 2 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5 + 2 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = - 2$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = - 2$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = - 2$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x + 3 y = - 2$ durch $\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}) + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 (\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}) + 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{5}{3}) + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $4 (\frac{5}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3} + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{20}{3} + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20}{3} + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $4 \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{20}{3} + \frac{4 (2 y)}{3} + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{20}{3} + \frac{8 y}{3} + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20}{3} + \frac{8 y}{3} + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20}{3} + \frac{8 y}{3} + 3 y = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + \frac{8 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20}{3} + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 + 8 y + 3 y \cdot 3}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{20 + 8 y + 9 y}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $8 y$ und $9 y$ .

$\frac{20 + 17 y}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20 + 17 y}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20 + 17 y}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20 + 17 y}{3} = - 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{20 + 17 y}{3} = - 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{20 + 17 y}{3} \cdot 3 = - 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{20 + 17 y}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 + 17 y}{3} \cdot 3 = - 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$20 + 17 y = - 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$20 + 17 y = - 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $20$ und $17 y$ um.

$17 y + 20 = - 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$17 y + 20 = - 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$17 y + 20 = - 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$17 y + 20 = - 6$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$17 y + 20 = - 6$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$17 y + 20 = - 6$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$17 y = - 6 - 20$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $20$ von $- 6$ .

$17 y = - 26$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$17 y = - 26$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $17 y = - 26$ durch $17$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $17 y = - 26$ durch $17$ .

$\frac{17 y}{17} = \frac{- 26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{17 y}{17} = \frac{- 26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{26}{17}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$ durch $- \frac{26}{17}$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 (- \frac{26}{17})}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} + \frac{2 (- \frac{26}{17})}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 + 2 (- \frac{26}{17})}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1

Multipliziere $2 (- \frac{26}{17})$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{5 - 2 (\frac{26}{17})}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{26}{17}$ .

$x = \frac{5 + \frac{- 2 \cdot 26}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $26$ .

$x = \frac{5 + \frac{- 52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{5 + \frac{- 52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{5 - \frac{52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{5 - \frac{52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{5 \cdot \frac{17}{17} - \frac{52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot 17}{17} - \frac{52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{5 \cdot 17 - 52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $17$ .

$x = \frac{\frac{85 - 52}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.6.2

Subtrahiere $52$ von $85$ .

$x = \frac{\frac{33}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{\frac{33}{17}}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{33}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $33$ heraus.

$x = \frac{3 (11)}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 11}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 4.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{11}{17}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{11}{17}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{11}{17}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{11}{17}$

$y = - \frac{26}{17}$

$x = \frac{11}{17}$

$y = - \frac{26}{17}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{11}{17}, - \frac{26}{17})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{11}{17}, - \frac{26}{17})$

Gleichungsform:

$x = \frac{11}{17}, y = - \frac{26}{17}$

Schritt 7